ГЛАВА

5

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

ВРЕМЕННАЯ СТРУКТУРА ПРОЦЕНТНЫХ СТАВОК: МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД

§ 1. ПРОЦЕСС ДИСКОНТИРОВАННОЙ ЦЕНЫ ОБЛИГАЦИИ КАК МАРТИНГАЛ

Вэтой главе рассмотрим применение теории мартингалов к области финансов при исследовании проблемы определения цен зависимых платежей, связанных с рисками процентных ставок. Мартингальные методы используются здесь для изучения риска процентной ставки на рынке с двумя основными активами: сберегательные счета и бескупонные облигации. Оказывается, что дисконтированные цены облигаций должны быть мартингалами при нейтральной к риску вероятностной мере. Производится конкретизация результатов, когда мгновенная процентная ставка адаптирована к броуновскому движению или следует процессу диффузии.

Вгл. 3 было выяснено, что мартингальные методы для арбитражного определения цен могут применяться в моделях со стохастическими процентными ставками, боле того, они используются даже шире, чем методы обычного дифференциального исчисления. Поэтому внимание здесь сосредоточено на определении цен бескупонных облигаций, и эта проблема будет представлена в рамках общей вероятностной структуры.

Сначала изучим общий случай, в котором отсутствие «бесплатного ланча» и жизнеспособность модели требуют, чтобы дисконтированная цена облигации следовала мартингальному процессу при некоторой модифицированной, «нейтральной к риску» вероятностной мере.

Представим модель риска процентной ставки. За основу принимаем фильтруемое вероятностное пространство для описания того, как информация со временем становится доступной участникам рынка. На этом пространстве изучим, какие отношения являются возмож-

ными между мгновенным процессом процентной ставки и процессом

цены бескупонной облигации с заданной датой погашения T. Это позволит описать самофинансирующие стратегии торговли облигация-

206

ми в сравнении с инвестированием (текущих) наличных денег на сберегательные счета при локально безрисковой мгновенной процентной ставке. Однако нужно принять и формально описать условия отсутствия арбитража между облигациями и сберегательными счетами, а также существование, по крайней мере, одного участника, чьи предпочтения по комбинациям текущего потребления и случайного будущего потребления приводят его при заданных процессах мгновенной процентной ставки и цены облигации к выбору стратегии «никакой торговли вовсе». Результаты гл. 3 при заданных предположениях модели позволяют связать мгновенную процентную ставку и цену облигации, а именно: дисконтированный по отношению к мгновенной процентной ставке процесс цены облигации должен быть мартингалом для заданной фильтрации при соответствующей замене исходной, лежащей в основе вероятностной меры, на эквивалентную «нейтральную к риску» вероятностную меру.

Мгновенная процентная ставка и процессы цен облигаций

Опишем математическую модель, выбранную для описания случайного поведения различных активов во времени: сберегательных счетов, облигаций, а также портфелей из них.

Зададим фильтруемое вероятностное пространство (Ω , F, Р, (Ft)) модели неопределенности, 0 ≤ t ≤ Т, и процесс раскрытия информации

со временем: для 0 ≤ s ≤ t ≤ T в виде Fs Ft F = FТ . Предположение 5.1. F0 содержит все пустые множества FТ; P яв-

ляется вырожденной на F0; для всех t < T, Ft = ∩ s > t Fs.

Так как мгновенная процентная ставка в момент времени t является частью доступной информации, во время t для задания процесса r принимаем следующее предположение.

Предположение 5.2. Процесс (rt) 0 < t < T непредсказуем (см. НJМ,

207

Если для почти всех ω функция t → rt (ω ) строго положительная и непрерывная (см. § 2 и 3) и если для всех t значение r является Ft - измеримым, то предположения 5.1 и 5.2 имеют место.

Из процесса r получаем первый финансовый актив, математически говоря, элемент L2(Ω , FТ, Р), путем инвестирования одной денежной единицы в момент времени 0 на счет, зарабатывающий проценты по ставке rt.

Определение 5.1. Процесс сберегательного счета Z0 является определенным и конечным, для почти каждого ω Ω , согласно формуле

Вторым активом будет дисконтированная облигация, по которой выплачивается без риска неплатежа одна денежная единица в момент времени T. Цена P (t, T) в момент t, 0 ≤ t ≤ T, этой «бескупонной облигации с датой погашения T» следует стохастическому процессу, относительно которого мы сделаем следующее предположение.

Предположение 5.5. Для каждого момента времени t цена P (t, T)

является Ft-измеримой и P(T, T) = 1.

Одна из целей главы – получение соотношения между двумя процессами: r и P (., T) на основе безарбитражной модели. Сделаем это сначала, применяя подход гл. 3 к модели со стохастическими процентными ставками.

Торговые стратегии и рыночные активы

Предполагается, что управление сберегательным счетом и облигациями, начинающееся с начального вклада в момент 0 и до завершающей операции и допускающее потребление в момент T, будет производиться без точного знания будущего, путем перемещения денег между сбережением и покупкой (или продажей) облигаций, в моменты времени и в количествах, независимых от непредвидимых будущих событий.

208

как число облигаций, принадлежащих агенту в момент времени t, интерпретация θ t0 требует различия между текущими денежными суммами в момент времени t и дисконтированными денежными суммами в момент 0: θ t0 является количеством денег, которые, будучи инвести-

рованными в момент времени 0, обеспечили бы в момент времени t текущую стоимость сберегательного счета агента. Предполагается, что кредиты и короткие продажи не накладывают каких-либо ограничений ни на знак, ни на величину θ .

Следующее определение является интуитивным.

Определение 5.3. Назовем самофинансирующей элементарную торговую стратегию (θ t)0 ≤ t ≤ T = ( θ t0 , θ 1t )0 ≤ t ≤ T, изменяющую значения в

моменты времени 0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ … ≤ tn ≤ tn+1 = T, если для каждого k = 1, 2, …, n

θ t0k− 1 Zt0k + θ 1tk − 1 P (tk ,T) = θ t0k Zt1k + θ 1tk P( tk ,T) .

Если мы обозначим через < , > скалярное произведение в R2 и через Zt обозначим пару ( Zt0 , P (t, T)), свойство самофинансирования

может быть записано как <θ t− , Zt> = <θ t, Zt>, что позволяет нам давать определение без ссылки на момент времени (tk)k ≤ n +1.

Определение 5.4. Множество М рыночных активов является подмножеством М из пространства L2(Ω , FТ, Р), состоящего из всех f, для которых существует стратегия самофинансирования (θ t)0 ≤ t ≤ T, такая что

f = <θ Т, ZТ> = θ T0 ZT0 + θ 1T P (T ,T) .

Определение цен при отсутствии «бесплатного ланча»

Для описания разумной связи между процессами r и P(., T) примем следующее определение.

209

Определение 5.5. Процесс (Zt)0 ≤ t ≤ T = ( Zt0 , P(t, T))0 ≤ t ≤ T не допус-

кает «бесплатный ланч», если для каждого f М такого, что f ≥ 0 почти всюду, и P(f > 0) > 0 для каждой стратегии самофинансирования θ ,

f = <θ Т, ZТ> влечет <θ 0, Z0> > 0.

Отсутствие бесплатного ланча подразумевает, что для того, чтобы получить положительную стоимость в момент времени T, каждый должен инвестировать положительную стоимость в момент времени 0. В гл. 3 доказано следующее простое свойство.

Если процесс Z = (Z0, P(t, T)) не допускает бесплатного ланча, тогда цена π (f) = <θ 0, Z0> не зависит от частной стратегии самофинансирования, порождающей рыночный актив f М, и определяет строго положительную линейную форму на M.

Пара (М, π ), определяемая процессами r и P (., T) в отсутствии бесплатного ланча, в гл. 3 названа системой цен. Найдем условия того, чтобы она получалась при равновесии цен.

Жизнеспособность системы цен

Жизнеспособность системы цен должна быть интерпретирована как существование по крайней мере одного потребителя, который при заданных его предпочтениях по парам (потребление в момент времени 0, случайное потребление в момент времени Т) и заданных ценах активов, удовлетворяется своим начальным вкладом.

Определение 5.6. Система цен (М, π ) является жизнеспособной, если существует непрерывное строго монотонное выпуклое соотношение предпочтительности ! на R × L2(Ω , FТ, Р) такое, что для всякой пары (α , g) R × М бюджетное ограничение α + π (g) ≤ 0 влечет предпочтение (α , g) ! (0, 0).

С использованием теоремы Хана − Банаха в гл. 3 был доказан следующий результат.

Теорема 5.1. Система цен (М, π ) является жизнеспособной, если и только если существует почти всюду ψ L2(Ω , FТ, Р), ψ > 0, такой, что для каждого f М, π (f) = Е(f ψ ).

К нашей модели будем применять этот результат без редукции системы к «настоящей стоимости», хотя процесс дисконтированной цены облигации Z1, определяемый равенством

210

будет играть основную роль в анализе этой главы. Он, очевидно, содержит меньше информации, чем пара ( Zt0 , P(t, T)). Представляется также, что некоторые доказательства являются более прозрачными, если они даются через Zt, а не через Zt1 .

Мартингальное определение дисконтированных цен как условие для жизнеспособности

Следующая теорема доказана в гл. 3 для постоянной rt. Доказательство ее для стохастической rt аналогично, но для полноты мы дадим его более детально.

Теорема 5.2. Если ( Zt0 , P(t, T)) не порождает бесплатного ланча,

тогда полученная система цен (М, π ) жизнеспособна, если и только если существует вероятностная мера Q на (Ω , FТ) такая, что:

а) ρ = dQ/dР > 0 почти всюду (т. е. Q и Р являются эквивалентными);

211

По причинам, которые станут понятными в § 2, вероятностная мера Q называется нейтральной к риску.

Переформулировка мартингального свойства

Свойства а), б), в) теоремы 5.2, взятые совместно, могут быть переписаны в виде

214

Для дальнейшего заметим, что выражение ρ T ρ t является интегрируемым и что E[ρ T ρ t Ft ] = 1, как это можно показать с помощью последовательной аппроксимации.

торая непрерывна справа и имеет предел слева почти всюду, тогда такая же регулярность имеет место для процесса (P(t, T))t < Т. Поэтому для § 2 сделаем следующее предположение.

Предположение 5.6. Для почти всех ω Ω траектория процесса цены t → P(t, T)(ω ) имеет предел слева для t > 0 и является непрерывной справа для t < Т.

§2. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОЦЕСС МГНОВЕННОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ АДАПТИРОВАН

КБРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ

Соотношение между мгновенным процессом процентной ставки

ипроцессом цены облигации уточним здесь для случая, когда информация порождается процессом, который предполагается броуновским движением. Теорема представления положительных мартингалов относительно броуновского движения позволяет описать процесс цен

облигации Рt как стохастический интеграл Ито, включающий мгновенную процентную ставку rt и лежащий в основе процесс «цены риска». Теорема Гирсанова показывает, что для нейтральной к риску ве-

роятности слагаемое дрейфа в дифференциале dPt/Pt равно rt dt, как в детерминированном случае. Формальный результат по дифференциалам Ито, доказывающий, что коэффициент дрейфа является условным математическим ожиданием ставки доходности, обеспечивает достаточное условие единственности нейтральной к риску вероятности, а значит и для арбитражного определения цены в рамках модели для

любого актива.

Дополнительно предполагаем, что процесс мгновенной процентной ставки порождает ту же информацию, как и заданная фильтрация,

икак существование какого-либо броуновского движения с теми же информационными свойствами. Классические результаты по представлению положительных мартингалов относительно броуновского движения позволяют описать процесс цен облигации как стохастиче-

217

Предположение 5.10. Система цен (Z t)0 ≤ t ≤ T = ( Zt0 , P(t, T)) 0 ≤ t ≤ T

не допускает бесплатного ланча, а выводимая система цен жизнеспособна.

С этого времени и, возможно, без дальнейшего уведомления предположим, что наша модель удовлетворяет следующему предположению.

Предположение 5.11. Модель одновременно удовлетворяет предположениям 5.1–5.10.

При предположении 5.11 мартингальное свойство, выражаемое в теореме 5.2, приводит к заданию цен дисконтированных облигаций благодаря двум классическим результатам по представлению мартингалов относительно броуновского движения.

Результат 1). Для Z L1(Ω , FТ, Р) существует предсказуемый процесс (fs) 0 ≤ s ≤ T такой, что:

а) Е[Z | Ft] = Z0 + ∫0t fsdBs ; б) Z = Z0 + ∫0T fsdBs ;

в) Р (∫0T fs2ds < ∞ ) = 1;

г) Е[Z2] = Z02 + E(∫0T fs2ds).

Части а), б) и в) этого результата получаем путем применения к мартингалу Yt = Е [Z | Ft] теоремы 5.7 (см. Р. Липцер, А. Ширяев, 1977), где, к сожалению, предсказуемость процесса f не упоминается; кроме того, затем следует использовать результат леммы 5.5. Часть г) этого результата в случае Z L2(Ω , FТ, Р) является просто перефразировкой свойства изометрии стохастического интеграла. Из свойства непрерывности стохастического интеграла следует, что для получения непрерывной траектории можно выбрать мартингал (Е[Z | Ft])0 ≤ t ≤ Т.

Такое же замечание относительно предсказуемости применяется к теореме 5.9 в книге Р. Липцера и А. Ширяева, формулируемой ниже как второй результат, где свойство в), доказывается простым вычислением.

Результат 2). Если Z L1(Ω , FТ, Р) является положительным почти всюду, тогда имеется предсказуемый процесс (gs) 0 ≤ s ≤ T такой, что:

219

Процесс цен облигации как стохастический интеграл

Здесь применяются результаты предыдущего подраздела к мартингальному представлению цен дисконтируемых облигации § 1 для получения интеграла и дифференциальных представлений, относящихся к процессу «цены риска» для них.

Сначала рассмотрим представление положительного мартингала

ρ t = E[dQ dP Ft ].

Утверждение 5.1. При предположениях 5.11 процесс цен облигации задается соотношением

где (qs) 0 ≤ s ≤ T является предсказуемым процессом таким, что:

Доказательство. Утверждение а) следствия 5.1 и результат 2) обеспечивают выполнение а) и б) для процесса (qs) 0 ≤ s ≤ T . Утверждение в) следствия 5.1 и формула б) результата 2) доказывают вид аналитического выражения для Р (t, Т).

Применяя теперь теорему представления к мартингалу, включающему Р(t, Т), получаем следующее утверждение.

Утверждение 5.2. При предположениях 5.11 процесс цен облигации (Р(t,Т)) 0 ≤ t ≤ Т является непрерывным процессом со стохастическим дифференциалом

dР(t, Т) = t Р(t, Т) dt + σt Р(t, Т) dВt

220

левая часть которого уже непрерывна справа. Так как правая часть изменяется непрерывно (см. пункт а) результата 1), левая часть должна быть непрерывной почти всюду, и процесс (Р(t,Т)) 0 ≤ t ≤ Т будет непрерывным почти всюду.

Применив результат 2), получим

221

T ( 2 ) < почти всюду. Часть в) утверждения следует из

∫ rs + qs + qs fs ds ∞

0

получаемых по формуле Ито равенств µ s = rs + qs2 − qs fs и σs = fs − qs.

Следующее следствие утверждения 5.2 может служить первым объяснением названия «нейтральная к риску вероятность», используемого для меры Q с плотностью

Следствие 5.3. При выполнении предположений 5.11 процесс rt является функцией дрейфа Р(t, Т) относительно нейтральной к риску вероятностной мере Q.

Доказательство. Теорема Гирсанова (см. Р. Липцер, А. Ширя-

броуновским движением при вероятностной мере Q и выражение dР может быть записано согласно в) утверждения 5.2 как

µ σ σ − σ ~ dР(t, Т) = ( t + t qt) Рt dt + t Рt(dВt qt dt) = rt Рt dt + t Рt dBt .

Функционал (qs)0 ≤ s ≤ T может быть интерпретирован как цена за единицу риска, измеряемого разностью между доходами облигации и (локально свободным от риска) сберегательного счета.

Описание функции дрейфа в стохастических дифференциалах

Рассмотрим проблему единственности. Из структуры мартингалов по отношению к (Ft)t ≤ Т следует, что встречающиеся предсказуемые процессы определяются с точностью до множеств меры нуль в пространстве [0, Т] × Ω , оснащенном произведением мер т Р, т − мера Лебега на [0, Т]; поэтому единственность должна пониматься с точностью до множеств т Р меры нуль.

Единственность определения цены актива связана посредством результатов § 1 с единственностью нейтральной к риску меры Q, а отсюда – с единственностью процесса (qs)0 ≤ s ≤ T в утверждении 5.1. Поэтому мы исследуем проблему того, как можно идентифицировать процесс (qs)0 ≤ s ≤ T из (Zt)0 ≤ t ≤ T с помощью дифференциального выражения утверждения 5.2. Следующая теорема, достаточно формальная

222

по характеру, расширяет известные условия, при которых коэффициент дрейфа оказывается условным математическим ожиданием ставки доходности.