обходимым и достаточным условием для того, чтобы Q была эквивалентной мартингальной мерой, является в). Это заключает доказательство теоремы 3.3. Следствие 3.4 вытекает из теоремы 3.2 и ее следствия.

И. Гирсанов (1960) использует коэффициент диффузии в более широком смысле, чем обычно, позволяя функциям параметров σ и µ зависеть как от прошлых, так и от настоящих значений векторного процесса Y. Теорема 3.3 может быть достаточно легко распространена на этот более широкий класс процессов, но тогда, чтобы строго сформулировать результат, понадобится вводить весьма много обозначений из теории меры для уточнения смысла значений параметров, зависящих от всего процесса Y непредсказуемым образом. Кроме того, труднее установить требования непрерывности для σ , но доказательство почти не нуждается в каком-либо изменении.

§ 6. ДРУГИЕ ТОРГОВЫЕ СТРАТЕГИИ

Здесь мы не приводим экономическое обоснование и поэтому ограничиваемся простыми торговыми стратегиями, но можем дать некоторые комментарии относительно того, какие последствия можно ожидать, если ослабить это ограничение. Когда допускается более широкий класс торговых стратегий, необходимо сформулировать определение стратегии самофинансирования в рамках этого более широкого класса. При таком допущении анализ в § 3 до введения эквивалентных мартингальных мер вообще бы не изменился. Поинтересуемся, существуют ли бесплатные ланчи и, если нет, определим множество рыночных ФП (обозначаемое через М′ ) и ассоциированные с ними функционалы цен (обозначаемые π′ ). Модель рынка ЦБ жизнеспособна, если и только если существует некоторый функционал ψ Ψ такой, что ψ | М′ = π ′, и принятая модель является жизнеспособной. Цена ФП x определяется арбитражем, если и только если функционал ψ (x) постоянен на множестве {ψ Ψ : ψ | М′ = π ′}. Однако больше не может выполняться взаимно однозначное соответствие между этим множеством функционалов ψ и эквивалентными мартингальными мерами. Принимая отсутствие бесплатных ланчей при более широком классе допустимых торговых стратегий, имеем М М′ и π ′ | М′ = π . Поэтому любой функционал ψ Ψ такой, что ψ | М′ = π ′, удовлетворяет ψ | М = π и дает эквивалентную мартингальную меру (посредством обычного соответствия). Но может оказаться, что эквивалентная мартингальная мера приводит к ψ Ψ такому, что ψ | М′ ≠ π ′. Таким

140

образом, цена ФП может быть определена с помощью арбитража, если эта ФП имеет постоянное математическое ожидание при всех эквивалентных мартингальных мерах, и ее арбитражная стоимость будет этой константой, но обратное не обязательно будет справедливым. Конечно, если выполняется условие

тогда обратное имеет место. Условие (3.13) означает, что взаимно однозначное соответствие между эквивалентными мартингальными мерами и {ψ Ψ : ψ |М′ = π ′} (нерегулярно) выполняется.

Рассмотрим, например, модель Блэка − Шоулса. Расширим множество допустимых торговых стратегий, позволяя моментам времени t1, t2, ..., tN− 1 быть моментами остановки относительно {Ft}. Можно показать, что это расширение не вызывает появления бесплатных ланчей и что условие (3.13) выполняется. Таким образом, с расширенным классом торговых стратегий модель Блэка − Шоулса жизнеспособна и цены всех ФП определяются с помощью арбитража.

Чтобы увидеть, как понятия могут перепутываться, когда множество допустимых стратегий торговли расширяется, снова рассмотрим модель Блэка − Шоулса, и теперь предположим, что общее количество сделок N допускается устанавливать зависимым (случайным). С формальной точки зрения имеются неслучайные моменты времени 0 = t0 < t1 < t2 < ... < tN ≤ Т и целочисленная случайная величина N такая, что θ (.) изменяет значения только в моменты времени t1, t2,..., tN. Чтобы торговые стратегии не предваряли будущее, мы добавим требование, чтобы {N ≥ n} Ftn для всех n. Назовем такие торговые стра-

тегии почти простыми. Затем определим почти простые стратегии самофинансирования и почти простые бесплатные ланчи очевидным способом. Кульминационный момент состоит в том, что почти простые бесплатные ланчи существуют. Фактически существуют почти простые самофинансирующие торговые стратегии θ такие, что почти наверное

Значит, что если агенты могут использовать почти простые торговые стратегии, модель Блэка − Шоулса оказывается бессмысленной моделью экономического равновесия. Стоит отметить, что это не обусловлено каким-то особенным свойством броуновского движения. То

141

же утверждение справедливо для модели скачкообразных процессов, рассмотренных в гл. 2.

Стратегия торговли, для которой выполняются соотношения (3.14), не очень сложная. Она равносильна известной стратегии дублирования, в соответствии с которой надеются победить в рулетке: ставь на красный цвет и продолжай удваивать свои ставки, пока не появится красный. Чтобы реализовать эту стратегию, нужно иметь возможность делать ставки счетное число раз, в то время как в любом конкретном состоянии имеется возможность делать только конечное число ставок. Если возьмем tn = Т − T/2N, это даст нам возможность делать счетное число ставок. Чтобы реализовать такую стратегию, нужно иметь возможность придерживаться дублирования. Необходимо только иметь конечную сумму в любом конкретном состоянии ω , но эта сумма не может быть ограниченной по ω . В модели Блэка − Шоулса рынка без затрат на сделки короткие продажи облигаций дают необходимые фонды.

В статьях Блэка – Шоулса (1973) и Мертона (1973) (см. гл. 2) по определению цен опционов для диффузионных моделей инвесторам разрешается торговать непрерывно. Эта непрерывная торговля смоделирована с помощью интегралов Ито. Для всякого θ (t) – портфеля инвестора в момент времени t там принимается, что θ (t) является гладкой функцией t и вектора текущих цен финансовых активов Z(t). Так как Z – процесс Ито, то же верно и для θ (t), и из этого следует, что типичная торговая стратегия θ (t) имеет неограниченную вариацию на каждом конечном интервале. Пользуясь такой стратегией, агент не только может выполнять бесконечное число сделок (или торгует непрерывно), но также и покупать и продавать неограниченные количества акций и облигаций в каждом временном интервале. Если процесс стоимости портфеля имеет вид V (t) = θ (t)Z(t), как и прежде, то определение интеграла Ито предполагает, что самофинансирующие торговые стратегии следует находить в соответствии с ограничением

t

V(t) = V(0) + ∫ θ (u)dZ (u), 0 ≤ t ≤ T.

0

Это ограничение неявно содержится в первоначальном исследовании Блэка и Шоулса (1973) и явно демонстрируется в статье Мертона (1977). Существуют ли бесплатные ланчи при таком определении?

142

Если нет, является ли модель рынка ЦБ жизнеспособной для некоторого разумного класса агентов?

§ 7. ОБОБЩЕНИЯ

Рассмотрим обобщения модели, проанализированной в § 2–5. Строгие исследования не приводятся из-за отсутствия места, которое потребовалось бы для этого. В необходимых случаях даются соответствующие ссылки на литературные источники, в которых имеются строгие доказательства используемых здесь утверждений.

До сих пор предполагалось, что одна из исходных ЦБ является безрисковой и имеет нулевую процентную ставку. Это может показаться ограничительным предположением, но на самом деле не так.

Предположим, что одна из ЦБ всегда имеет строго положительную цену, и если такое нежесткое предположение выполняется, можно использовать цену этой ЦБ как единицу измерения. Естественно, что в модели рынка ЦБ с такой нормировкой цен ЦБ, используемая как единица измерения, является безрисковой и имеет нулевую процентную ставку.

Формальная постановка при таком подходе выглядит следующим образом. Зафиксируем модель рынка ЦБ, в которой нет безрисковых активов с нулевой процентной ставкой, но в которой один из K + 1 активов, скажем актив 0, имеет цену Z0(t, ω ) > 0 для всех t и ω . Теперь сконструируем новую модель рынка ценных бумаг с тем же самым вероятностным пространством (Ω , F, Р), торговыми датами Т, информационной структурой { Ft} , но с процессом цен { Z′t} , определяемым соотношением

Z′k (t, ω ) = Zk (t, ω )/Z0 (t, ω ).

Очевидно, что Z′0(t, ω ) ≡ 1. Нестрого говоря, исходная модель является жизнеспособной, если и только если штрихованная модель существует, и цена ФП х в исходной модели определяется арбитражем, если и только если ФП х′ = х/Z0(T) определяется арбитражем в штрихованной модели. Более того, если цены х и х′ определяются через арбитраж в своих соответствующих моделях, их арбитражные стоимости связаны соотношением π"′(x′) = π"(x) /Z0(0). Это так, нестрого гово-

ря, потому что θ является простой самофинансирующей торговой

143

стратегией в исходной модели, если и только если она простая самофинансирующая в штрихованной модели. Чтобы увидеть это, заметим, что если θ определена на торговых датах t0, t1,…, tN, тогда

θ (tn− 1) Z(tn) = θ (tn) Z(tn), если и только если θ (tn− 1) Z′(tn) = θ (tn) Z′(tn).

Таким образом, ФП т М, если и только если ФП т′ = т /Z0(T) М′

и π ′(т′) = π (т)/Z0(0).

Чтобы сделать это соответствие точным, необходимо принять некоторую строгость. Переход от исходной модели к штрихованной предполагает изменение только в единицах. Таким образом, этот переход должен быть экономически нейтральным. Переход не должен изменять ни пространство финансовых производных, ни топологии, в которой предпочтения агентов предполагаются непрерывными. В та-

ком случае х Х, если и только если х′ Х′, и хn → х в Х, если и только если х′n → х′ в Х′. Если Z0(T) не ограничено сверху и отделено от

нуля, значит, мы не можем взять Х′ = L2(Ω , F, Р) и топология на Х′ будет топологией, порожденной L2-нормой.

Таким образом, чтобы быть эквивалентной мартингальной мерой в штрихованной модели, Q должна удовлетворять неравенству Е([(dQ/dР) Z0(T)]2) < ∞ , а не Е([dQ/dР]2) < ∞ . Конечно, когда Z0 (T) лежит в ограниченном подинтервале (0, ∞ ), это усложнение можно про-

игнорировать: Х′ является L2(Ω , F, Р), топология на Х′ является топологией, порожденной L2-нормой и, таким образом, dQ/dР L2 будет собственным требованием непрерывности для эквивалентной мартингальной меры.

Чтобы показать применение этого, рассмотрим модель фактически совпадающей с моделью Блэка − Шоулса (1973). Имеются два актива, облигация с процентной ставкой r такая, что Z0(t) = ехр (rt), и акция, динамика цены которой задается уравнением

dZ1(t) = µ Z1(t)dt + σ Z1(t)dW(t),

где µ и σ – константы.

144

Поля { Ft} также порождаются броуновским движением W. Переходя к штрихованной модели, получим Z′0 (t, ω ) ≡ 1 и Z′1(t) = ехр (− rt). Таким образом,

dZ′1(t) = (µ − r) Z′1(t)dt + σ Z′1(t) dW(t).

Применяя результаты, полученные в § 5, мы знаем, что эта модель является жизнеспособной и что цены всех ФП определяются арбитражем. Для того чтобы найти арбитражную стоимость конкретной

ФП, например, такой, как х = [Z1(t) − а]+, перейдем к штрихованной модели, в которой х′ = (Z′1(T) ехр (rT) − а)+/ ехр (rT). Тогда

π"′(x′) = Е [е− rt(Z1*(T)еrt − а)+],

применить это преобразование к модели Мертона (1973) со стохастической процентной ставкой. В таком случае никаких проблем при переходе к штрихованной модели не появляется, но результаты § 5 не позволяют утверждать, что, скажем, цены европейских опционов-колл можно определять через арбитраж.

Наш анализ проводился для рынка, где агенты потребляют только в даты 0 и Т. Обычным образом это можно представить как частный случай равновесного компромиссного анализа между потреблением в этих двух датах, где потребления в другие даты фиксированы. Для исследования ФП, по которым могут производиться платежи в даты до Т, включая ФП, которые могут выплачивать дивиденды, и ФП, которые исполняются в случайные даты, полезно распространить рассмотренный анализ на случай, когда и потребление возможно в любые даты. Для подробного изложения потребуется довольно много места, и это изложение будет содержать многочисленные повторения в рассуждениях, поэтому оно здесь не приводится. Следует заметить, что как только нормировка выбрана таким образом, чтобы имелась безрисковая ЦБ с нулевой процентной ставкой, основные результаты, которые были даны, будут справедливы. Причина этого в следующем: представим ФП функцией х: Ω × Т → R, где х (ω , t) является полной

145

суммой, выплаченной по ФП во временном интервале (0, t), когда реализуется ω . Например, если по ФП непрерывно выплачиваются платежи по норме d(ω , t) до некоторого случайного момента времени τ , а затем остальная положенная сумма l(ω , τ ), то будем иметь

t τ

х(ω , t) = ∫ d(ω , s)ds + l(ω , τ ) × 1{τ ≤ t} .

0

Рассмотрим какую-нибудь ФП, представленную таким образом, и другую ФП х′, для которой х′(ω , t) = 0 для всех t < Т, но при погашении х′(ω , T) = х (ω , T). То есть х′ ничего не выплачивает до момента времени Т, в который происходит выплата всей суммы, полагающейся по ФП х в течение времени от 0 до Т. Предполагая модель жизнеспособной, цену х определяемой арбитражем, если и только если х′ существует, то их арбитражные стоимости будут одинаковы. Это имеет место, поскольку агент, обладая ФП х, может инвестировать платежи, накопленные к моменту Т, в безрисковый актив. Так как безрисковая процентная ставка равна нулю, по ФП выплачивается х(ω , T) в дату Т, что полностью совпадает с х′(ω , T). С другой стороны, если агент обладает х′, он может взять ссуду и использовать безрисковый актив, чтобы получить доход х, и в дату Т ФП х′ обеспечит фонды, чтобы покрыть этот долг. Таким образом, ценность ФП х и х′ одинакова. Разработанная выше теория позволяет узнать, будут ли ФП х′ иметь свои цены, определяемые арбитражем, и если это так, то они будут также иметь свои арбитражные стоимости.

Дивиденды, выплачиваемые исходными активами, могут исследоваться таким же образом. Не рассматривая это подробно, мы только отметим, что имеется несколько способов анализа этой проблемы. Дивиденды могут «мгновенно» реинвестироваться или в выпускаемую ЦБ, или в безрисковый актив. С другой стороны, накапливаемые дивиденды могут вычитаться из определяемой стоимости ФП.

Опционы являются финансовыми инструментами, владелец которых имеет возможность определять форму и расписание платежей.

Например, американские путы являются такими наборами, в которых α А находит моменты остановки относительно { Ft} . (Мы еще вернемся к этому примеру.) Для модели жизнеспособного рынка ЦБ обо-

146

значим символом Р множество эквивалентных мартингальных мер. Тогда при любом выборе α ФП хα стоит не менее чем inf Р* Р Е*(хα ) и не более чем suр Р* Р Е*(хα ). Таким образом, опцион стоит по мень-

гда эти два числа одни и те же, цена опциона определяется арбитражем, а общая цена является арбитражной стоимостью. Когда Р состоит из одного элемента, два числа одинаковы, и стоимость опциона равна suр α А Е*(хα ), где Е*(.) означает математическое ожидание относительно единственной эквивалентной мартингальной меры. Заметим, что в таких случаях выбор стратегии α является независимым от отношения владельца к риску.

Приведем пример, иллюстрирующий три обобщения, сделанные выше. Возьмем модель Блэка − Шоулса, когда r может отличаться от нуля, и рассмотрим задачу определения стоимости американского пута с ценой исполнения а и датой истечения Т. Если пут исполняется, используя правило остановки τ , то он производит (а − Z1(τ ))+ в момент τ . Если Z1(τ ) > а, правило τ интерпретируется так, как будто пут никогда не исполнится. Сначала перейдем к модели с нулевой процентной ставкой, получая Z′, как и выше. В штрихованной модели опцион, исполняемый по правилу τ , производит (а ехр (− r τ ) − Z′1(τ ))+ в момент τ . Это эквивалентно ФП, которая дает (а ехр (− r τ ) − Z′1(τ ))+ в момент Т при помощи второго обобщения. Такая ФП имеет арбитражную

стоимость

Е[(а ехр (− r τ ) − Z1*(τ ))+ ],

где dZ1*(t) = σ Z1*(t)dW(t) в соответствии с § 5.

Таким образом, опцион-пут имеет арбитражную стоимость

sup Е[(а ехр(− rτ ) − Z1*(τ ))+ ],

τ

где супремум вычисляется по всем возможным моментам остановки τ , 0 ≤ τ ≤ Т. (Он является арбитражной стоимостью как в исходной, так и в штрихованной моделях, когда Z0(0) = 1.) Определение стоимости этого пута сводится к задаче оптимальной остановки, к которой можно применить методы теории потенциала.

Совсем просто расширить пределы нашего ограничения на Х на квадратично интегрируемые ФП и применение L2-нормированной топологии. В § 2 мы использовали только то, что Х является веществен-

147

ным линейным пространством F-измеримых случайных величин на Ω и что топология на Х является линейной, хаусдорфовой и локально выпуклой. (Также необходимо, чтобы если х Х и х′ является случайной величиной такой, что Р(х = х′) = 1, то х′ и х идентифицировались как один и тот же элемент пространства Х.) Для любого вещественного пространства F-измеримых случайных величин на Ω с топологией, которая удовлетворяет этим требованиям, теорема 3.1 доказывается точно так же, как и выше.

Соответствие между функционалами ψ Ψ такими, что ψ | М = π , и эквивалентными мартингальными мерами (теорема 3.2) мы устанавливали при помощи теоремы представления Рица. То есть ψ является непрерывным линейным функционалом на X, если и только если ψ (x) = E (ρ x) для некоторого ρ L2(Ω , F, P). Это свидетельствует о том, что данный непрерывный линейный функционал ψ , определяющий Q(B) = ψ (1B), создавал (σ -аддитивную) меру, абсолютно непрерывную относительно P и удовлетворяющую условию dQ/dP L2. Наоборот, при заданной вероятностной мере Q, абсолютно непрерывной относительно P и удовлетворяющей условию dQ/dP L2, определение ψ (x) = E*(x) для x X создает непрерывный линейный функционал на X. Предположим, мы выбрали p [1, ∞ ], и примем, что X = Lр(Ω , F, P) с такой топологией, чтобы функционал ψ являлся непрерывным линейным функционалом на X тогда и только тогда, когда выполняется соотношение ψ (x) = E(ρ x) для некоторого ρ Lq(Ω , F, P), где q− 1 + p− 1 = 1. Например, если p < ∞ , тогда топология на X может быть стандартной Lр-нормированной топологией. Если p = ∞ , топология на X может быть L1-Mackey топологией. Нам нужно предположить, что Zk (t) X для всех k и t, и изменить определение эквивалентной мартингальной меры, чтобы считать, что dQ/dP Lq. (Чтобы вычислять необходимые условные математические ожидания, нам также нужно потребовать, чтобы торговая стратегия θ была простой и θ k (t) Zk (t) X для всех k и t.) С этими изменениями, вывод можно делать точно так, как в § 3.

В случае диффузии возникают трудности. Полученные ранее результаты требуют, чтобы ρ L2. Однако мы знаем только условия, при которых имеется единственная эквивалентная мартингальная мера Q такая, что dQ/dP L2. Если бы, используя терминологию предыдущего абзаца, мы выбрали p < 2, тогда требование изменилось бы на dQ/dP Lq, где q > 2. Оно более строгое, чем dQ/dP L2, так что по

148

условию теоремы 3.3 самое большее имеется единственная эквивалентная мартингальная мера. Если эта мера удовлетворяет условию dQ/dP Lq, то модель жизнеспособна, и цены всех ФП определяются арбитражем. Если эта мера не удовлетворяет условию dQ/dP Lq, тогда модель нежизнеспособна. Например, рассмотрим модель Блэка − Шоулса для случая µ + σ 2/2 ≠ 0. Производная Радона − Никодима dQ/dP может быть вычислена явно, и она не удовлетворяет условию dQ/dP L∞ . Таким образом, если p = 1, модель Блэка − Шоулса не является жизнеспособной моделью экономического равновесия.

Если же p > 2, то требованием для q < 2 становится dQ/dP Lq. Оно менее строгое. Хотя теорема 3.3 устанавливает жизнеспособность класса моделей для p > 2, она не показывает, что цена каждой ФП определяется арбитражем. Для этого, требуется усиливать результаты, лежащие в основе разработанной выше теории.

Заключительные замечания

Основной вопрос, рассмотренный в этой главе, следующий. Какие ФП «охватываются» заданным набором ЦБ, которыми торгуют на рынке? В главе использовались линейные функционалы для определения стоимости ФП, чья цена определяется через арбитраж. Материал главы может рассматриваться как теоретическое обоснование результатов гл. 2, где приводится следующее важное наблюдение. Если ФП оценена через арбитраж в среде с одной акцией и одной облигацией, то ее стоимость может быть найдена сначала изменением модели так, чтобы акция зарабатывала по безрисковой ставке, а затем вычислением ожидаемой стоимости ФП. В гл. 2 анализируются два примера, и в каждом случае определяется правильная модификация в соответствии со следующей процедурой. Сначала, используя технику Блэка – Шоулса, получаем аналитическое соотношение (дифференциальное или дифференциально-разностное уравнение), которому должна удовлетворять стоимость ФП. Наблюдая, что один параметр модели не появляется в этих соотношениях, приспосабливаем его значение так, чтобы акция зарабатывала по безрисковой ставке. Первым примером является диффузионная модель Блэка − Шоулса, где свободный параметр − коэффициент дрейфа процесса цены акции. Во втором примере процесс цены акции Y удовлетворяет соотношению

149

где N = {N(t); 0 < t < T} − процесс Пуассона с интенсивностью скачка λ ; а и b − определенные положительные константы.

Оказывается, что свободным параметром является λ и что при λ * = b/a процесс Y обеспечивает получение дохода по безрисковой ставке (нулевой).

В§ 6 для модели Блэка − Шоулса мы нашли производную Радона

−Никодима единственной эквивалентной мартингальной меры Q, при которой акция зарабатывает по безрисковой ставке. Подстановка Q вместо P эквивалентна регулированию коэффициента дрейфа, рассмотренного в гл. 2. Для модели скачкообразного процесса (3.15) также существует единственная эквивалентная мартингальная мера Q и замена Q на P выполняет подстройку интенсивности скачков модели, рассмотренной в гл. 2, без какого-либо воздействия на параметры а и b. Кроме того, можно вычислить в явной форме производную Радона

– Никодима Q относительно P. В принципе, относительно трудная задача вычисления dQ/dP может быть решена и может быть выполнено доказательство того, что Q – фактически единственная эквивалентная мартингальная мера.

Может показаться довольно странным сравнение результатов гл. 2 с результатами этой главы, поскольку в гл. 2 утверждается, что арбитраж является независимым предпочтением, а в изложенной выше теории арбитраж кардинально привязан к специфическому классу агентов, классу A. Однако ясно, как примирить эти две позиции. Когда в гл. 2 строятся предпочтения агента, нейтрального к риску, определяющему арбитражную стоимость ФП, это соответствует построению эквивалентной мартингальной меры. В обоих упомянутых примерах построенные показатели предпочтения сохраняют пустые множества исходной меры и непрерывность в том же смысле, что требуется и здесь. То есть их нейтральный к риску агент является членом введенного здесь класса A, как и должно быть.

150