Тема 2. Розрахунок балок та простих рам на нерухоме навантаження

2.1. Загальні положення визначення внутрішніх зусиль в балках

Внаслідок дії зовнішніх навантажень в перерізах елементів конструкцій виникають згинальні та повздовжні деформації і деформації зсуву. Кожній з деформацій відповідають внутрішні зусилля - згинальні моменти М, повздовжні і поперечні сили - N і Q. У курсі будівельної механіки використовуються ті ж способи визначення внутрішніх зусиль, що виникають у поперечних перерізах однопролітних статично визначних балок і побудова епюр цих зусиль від дії на балку нерухомого навантаження, що і в опорі матеріалів.

При визначенні значень внутрішніх зусиль у балках будемо користуватися сформульованими нижче правилами.

Поперечна сила Q додатня, якщо вона на лівому торці правої частини балки вона направлена знизу вверх, а на правому торці лівої частини - зверху вниз, або додатня поперечна сила обертає залишену частину балки по годинниковій стрілці.

Згинальний момент М додатній, якщо він на лівому торці правої частини балки направлений по годинниковій стрілці, а на правому торці лівої частини — проти годинникової стрілки.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

При навантаженнях, направлених не перпендикулярно до осі балки у поперечних перерізах її виникають, крім поперечних сил і згинальних моментів, також і поздовжні сили N.

Поздовжня сила N додатня, коли вона викликає розтягання, і від’ємна, коли вона викликає стискання.

На рис. 2.1 показані додатні напрямки поперечної сили, поздовжньої сили і згинаючого моменту в поперечному перерізі балки. З малюнка видно, що при додатньому згинальному моменті верхні волокна балки зазнають стиску (скорочення), а нижні — розтягання (подовження); додатня поперечна сила обертає кожну частину балки щодо іншого її кінця за годинниковою стрілкою.

При побудові епюр поперечних і поздовжніх сил додатні значення ординат відкладають угору від осі епюри, а від’ємні - вниз; при цьому необхідно вказувати на окремих ділянках епюр знаки внутрішніх зусиль. При побудові ж епюри згинальних моментів додатні значення їх відкладають вниз від осі епюри, від’ємні — вгору; у результаті цього епюри згинальних моментів розташовані з боку розтягнутих волокон балки (у курсах опору матеріалів епюри згинальних моментів будують з боку стиснутих волокон).

Знак поперечної сили можна визначити за допомогою епюри згинальних моментів, використовуючи слідуюче правило: поперечна сила в даному перерізі додатня, якщо для суміщення осі елемента з дотичною до епюри згинальних моментів доводиться вісь елемента обертати за годинниковою стрілкою. Обертання осі повинне відбуватися завжди так, щоб кут повороту не був більшим за 90° (рис.2.2).

2.2. Порядок та методи розрахунку балок

Першим етапом розрахунку конструкції є визначення реакцій опор. Статично визначні конструкції приєднані до основи за допомогою 3-х стержнів. Можна записати систему 3-х рівнянь статики з яких і визначимо шукані реакції:

(2.1)

На споруду можуть діяти слідуючі види навантажень:

- зосереджена сила (Н, кН, МН );

- рівномірно розподілене навантаження (Н/м, кН/м, МН/м );

- зосереджений момент (Н*м, кН*м, МН*м );

Визначення внутрішніх зусиль виконується за допомогою методу січень та методу заміни в’язів. Згідно з цими методами:

Поперечна сила дорівнює Q (за величиною та знаком) сумі проекцій усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, на перпендикуляр до її осі, проведену в розглянутому поперечному перерізі, або сумі проекцій, взятої з протилежним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки:

(2.2)

При цьому проекції зовнішніх сил на перпендикуляр до осі балки додатні, коли вони направленні знизу вверх.

Згинальний момент М дорівнює (по величині і знаку) сумі моментів відносно осі Z (що проходить через центр ваги розглянутого поперечного переріза балки перпендикулярно до площини дії зовнішніх сил) усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, або сумі моментів, узятої з протилежним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки:

, (2.3)

при цьому моменти зовнішніх сил додатні, коли вони діють по годинниковій стрілці.

Поздовжня сила N дорівнює (по величині і знаку) сумі проекцій усіх зовнішніх сил, прикладених до лівої частини балки, на її вісь або сумі проекцій (на ту ж вісь), взятої з протилежним знаком, усіх зовнішніх сил, прикладених до правої частини балки:

, (2.4)

при цьому проекції зовнішніх сил на вісь балки додатні, коли вони діють справа наліво.

При обчисленні внутрішніх зусиль бажано розглядати рівновагу тієї з відсічених частин конструкції, до якої прикладена менша кількість зусиль. На основі обчислення величин внутрішніх зусиль в низці характерних точок конструкції будуються епюри — графіки зміни внутрішніх зусиль вздовж контуру конструкції при заданому зовнішньому навантаженні.

При побудові епюр поперечних і поздовжніх сил додатні значення ординат відкладають угору від осі епюри, а від’ємні - вниз; при цьому необхідно вказувати на окремих ділянках епюр знаки внутрішніх зусиль. При побудові ж епюри згинальних моментів додатні значення їх відкладають вниз від осі епюри, від’ємні — вгору; у результаті цього епюри згинальних моментів розташовані з боку розтягнутих волокон балки (у курсах опору матеріалів епюри згинальних моментів будують з боку стиснутих волокон).

Для побудови епюр виникає необхідність визначення внутрішніх зусиль у великий кількості перерізів конструкції. Суттєве скорочення кількості перерізів може бути одержане за рахунок дотримання таких правил:

• якщо на ділянці стержня відсутнє розподілене навантаження, то епюра згинаючих моментів змінюється за лінійним законом, а поперечні і повздовжні сили постійні. Відповідно, для побудови епюр М, Q, N достатньо обчислити значення М в двох точках ділянки – на початку і в кінці, а N і Q в будь-якій одній точці ділянки;

• якщо на ділянці стержня є розподілене навантаження, то епюра згинаючих моментів змінюється за нелінійним законом (у випадку прикладення рівномірно розподіленого навантаження q - за законом квадратної параболи), а поперечні і повздовжні сили змінюються лінійно. Відповідно, для побудови епюр М, Q, N необхідно обчислити значення М мінімум в трьох точках ділянки, a Q і N - в двох точках.

Отже, для побудови епюр необхідно визначити межі ділянок. Межами ділянок можна вважати:

• місця з'єднання двох або більше стержнів;

• перерізи, в яких прикладені зосереджені навантаження – сили або моменти;

- точки початку і закінчення розподілених навантажень.