8,2. Теорема про взаємність робіт

Розглянемо два стани пружної системи, що знаходиться в рівновазі. В кожному з цих станів на систему (споруду) діє деяке статичне навантаження, наприклад в 1-м стані сила Р₁ а в 2-м — сила Р₂ (рис. 8.3).

Переміщення системи в результаті її деформації будемо позначати _mn, де перший індекс вказує на напрямок переміщення, а другий — на причину, що викликала його. Знак _mn читається таким чином: переміщення по напрямку «сили.» т, викликане «.силою» п. Переміщення _mn може бути лінійним зміщенням або кутом повороту (в радіанах) — залежно від того, чи «сила» т є зосередженою силою або зосередженим моментом.

Рис 8.3.

Під «силою» п розуміється будь-яке навантаження, яке діє на споруду, наприклад, що складається з декількох зосереджених сил і моментів і якого завгодно розподіленого навантаження. В даному випадку (рис. 8.3):

₁₁-переміщення по напрямку сили Р₁ від дії сили Р₁;

_12- переміщення по напрямку сили Р₁ від дії сили Р₂;

₂₂- переміщення по напрямку сили Р₂ від дії сили Р₂;

- переміщення по напрямку сили від дії сили Р₁.

Тоді можна визначити величини робіт сил Р₁ і Р₂ на відповідних переміщеннях:

- робота від дії сили Р₁ на переміщенні ₁₁;

- робота від дії сили Р₂ на переміщенні ₂₂.

Роботи А₁₁ та А₂₂ можна виразити через внутрішні зусилля, що виникають в поперечних перетинах стержнів системи:

;

.

Розглянемо тепер випадок статичного навантаження тієї ж системи силами P₁ і P₂ в наступній послідовності. Спочатку до системи прикладається статично наростаюча сила P₁. Коли процес її статичного наростання закінчиться, деформація системи і внутрішні зусилля, що виникають в ній, будуть такі ж, як і в 1-м стані, зображеному на рис.8.4; зокрема, прогинання під силою P₁ буде рівне А₁₁. Робота сили P₁ в процесі її наростання від

Рис. 8.4

нуля до кінцевого значення буде А₁₁=Р₁₁₁/2. Потім на систему почне діяти також наростаюча сила Р₂- в результаті цього система отримає додаткові деформації і в ній виникнуть додаткові внутрішні зусилля, рівні деформаціям і зусиллям в 2-м стані, додаткове прогинання під силою P1 буде рівне ₁₂-в процесі наростання сили P₂ від нуля до її кінцевого значення сила P₁, залишаючись постійною, переміститься вниз на величину додаткового прогинання A₁₂ і, отже, зробить додаткову роботу,

.

Тому при послідовному завантажені робота всіх сил дорівнює:

.

З іншої сторони, роботу А сил P₁ і P₂ можна визначити як півсуму добутків кожної з цих сил на відповідне їй повне переміщення від дії обох сил:

Прирівняємо два вирази і одержимо:

,

звідки

,

де - - робота сили - 1-го стану на переміщенні по її напрямку від дії сили другого стану;

- робота сили 2-го стану на переміщенні по її напрямку від дії сили першого стану.

Значить,

.

Таким чином, робота сил 1-го стану на переміщеннях по їх напрямках, викликаних силами 2-го стану, дорівнює роботі сил 2-го стану на переміщеннях по їх напрямках, викликаних силами 1-го стану - теореми про взаємність робіт, або теореми Бетті.

На основі цієї теореми можна визначити роботу через внутрішні зусилля, які виникають в першому та другому стані і при цьому отримуємо:

.8.3. Теорема про взаємність переміщень

Розглянемо наступні два стани системи. В першому стані до системи прикладена одна сила P₁ = 1, а в другому — одна сила Р₂ = 1 Ці стани системи умовимося називати одиничними. Будемо позначати переміщення, викликані одиничними силами або моментами (тобто силами Р == 1 або моментами М = 1), знаком δ — на відміну від переміщень, викликаних силами і моментами, не рівними одиниці, що позначаються знаком . Відповідно до цього переміщення даної системи по напряму одиничної сили Р₂ в 1-м стані (тобто викликане силою P₁ = 1, позначимо δ₁₂ переміщення по напрямку одиничної сили P₁ в 2-м стані позначимо δ₂₁ де δ₁₂ і δ₂₁—одиничні переміщення.

Рис. 8.5

На підставі теореми про взаємність робіт для розглядуваних двох станів маємо:

P₁δ₁₂ = P₂δ₂₁

але так ,як

P₁ = P₂=1

то

δ₁₂ = δ_21..

Або в загальному випадку дії будь-яких одиничних сил:

δ_mn = δ_nm.

Отримана рівність носить назву теореми про взаємність переміщень (принципу Максвелла): для двох одиничних станів пружної системи переміщення по напряму першої одиничної сили, викликане другою одиничною силою, дорівнює переміщенню по напряму другої сили, викликаному першою силою.