8.6. Техніка знаходжень переміщень

Визначення переміщень значно спрощується застосуванням спеціальних методів обчислення інтегралу виду . Так, як в підінтегральний вираз входить добуток ординат епюр М_m і М_n , то цей метод називається способом множення епюр. Він може бути використаний, якщо одна з епюр, наприклад М_m, прямолінійна, а інша епюра може бути прямолінійною, ломаною або криволінійною.

Рис. 8.8

В цьому випадку

;

величини х і показані на рис.8.8. Підставивши значення у вираз , отримаємо

,

де - статичний момент площі епюри відносно осі О-О.

Тоді .

Але так як

то

.

Значить, результатом множення двох епюр є добуток площі однієї з них на ординату другої (обов”язково прямолінійної) епюри, взяту під центром ваги площі першої епюри - правило або спосіб Верещагіна. При множенні ставиться знак плюс, якщо епюра і ордината під центром її ваги, взята з дркгої епюри, мають одинакові знаки, і мінус, - якщо різні знаки. В табл.1 приведені значення площ і координати центрів ваги найбільш поширених фігур.

В деяких випадках (рис. 8.9), якщо криволінійна епюра окреслена по параболі не вище другого степеня, більш доцільно користуватися формолою Сімпсона-Корноухова :

.

Рис. 8.9.

Значення площ і координати центрів ваги найбільш поширених фігур.

Таблиця 1

При необхідності перемножити дві епюри, які мають вигляд трапецій, зручніше одну з епюр розбити на два трикутники і перемножити площі кожного з них на ординату під центром його ваги з другої епюри. При цьому отримаємо

= l/6(2ac+2bd+ad+bc).

Тут в дужках сумуються подвоєні добутки лівих ординат епюр, подвоєні добутки правих ординат епюр, добуток лівої ординати першої епюри на праву другої і добуток правої ординати першої епюри на ліву другої.

8.7. Переміщення статично визначених систем, визваних зміщенням опор

Зміщення опор в статично визначених системах по напрямку опорних зв”язків не викликає в споруді внутрішніх зусиль. Для прикладу розглянемо раму, показану на рис.8.10,а. Вертикальне зміщення опори В на величину не викликає в її перерізах додаткових внутрішніх зусиль.

Визначимо переміщення точки k по напрямку і-і, тобто . Для цього розглянемо одиничний стан даної системи ів напрямку шуканого переміщення прикладемо до нього силу Х=1. Опорну реакцію яка виникає при цьому в тому опорному стержні, який в дійсному стані переміщується на величину ,позначимо R.

Визначимо переміщення точки к по напрямку і-і, тобто . Для цього розглянемо одиничний стан даної системи ів напрямку шуканого переміщення прикладемо до нього силу Х=1. Опорну реакцію яка виникає при цьому в тому опорному стержні, який в дійсному стані переміщується на величину ,позначимо R. Застосуємо для двох стенів принцип взаємності робіт, що робота сил першого стану на відповідних переміщеннях другого дорівнює роботі сил другого стану на переміщення першого

.

Звідки

.

Рис.8.10

Переміщення якої-небудь точки заданої статично визначеної споруди, яке виникає від зміщення опори на величину , дорівнює добутку цього зміщення на реакцію опори від дії одиничного навантаження, прикладеного в напрямку переміщення, яке шукаємо. Переміщення додатнє, якщо реакція направлена проти зміщення , і від”ємне, якщо співпадає з ним.

Визначимо переміщення точки к по напрямку і-і, тобто . Для цього розглянемо одиничний стан даної системи ів напрямку шуканого переміщення прикладемо до нього силу Х=1. Опорну реакцію яка виникає при цьому в тому опорному стержні, який в дійсному стані переміщується на величину ,позначимо R. Застосуємо для двох стенів принцип взаємності робіт, що робота сил першого стану на відповідних переміщеннях другого дорівнює роботі сил другого стану на переміщення першого

Переміщення якої-небудь точки заданої статично визначеної споруди, яке виникає від зміщення опори на величину , дорівнює добутку цього зміщення на реакцію опори від дії одиничного навантаження, прикладеного в напрямку переміщення, яке шукаємо. Переміщення додатнє, якщо реакція направлена проти зміщення , і від”ємне, якщо співпадає з ним.

Порядок визначеня переміщення в статично визначених спорудах від зміщення опор.

1.Вибираємо одиничний стан споруди, рахуючи зв”язок, який зміщується, нерухомим.

2.Завантажуємо споруду в одиничному стані в напрямку переміщення, яке шукаємо, силою або моментом .

3.Знаходимо реакції в тих опорих зв”язках одиничного стану, які в дійсному стані споруди зміщуються.

4.Складаємо вираз робіт сил одиничного стану на переміщеннях дійсного та прирівнюємо його нулю.

5.Розв”язуємо одержане рівняння відносно шуканого переміщення.