8.4. Формула переміщень
Розглянемо наступні два стани системи. В першому стані на систему діє довільне число будь яких сил та моментів, а в другому — одна лиш зосереджена сила Р2 = 1.
Рис. 8.6
Складем вираз
роботи А21сили
2-го стану на переміщення
,
яке виникає від сил 1-го стану:
,
або через внутрішнє зусилля в стержнях системи:
.
При незмінних по довжині розмірах поперечних перерізів формула прийме вигляд:
.
Остання рівність носить назву формули переміщень (інтеграла Мора).
Визначення переміщень за допомогою отриманої формули проводиться в наступному порядку:
1) знаходяться вирази зусиль Mn Nn , Qn від заданого навантаження як функції координати х довільного перерізу;
2) по напряму шуканого переміщення прикладається відповідна йому одинична «сила» (при лінійному переміщенні — зосереджена сила, при куті повороту — зосереджений момент);
3) визначаються зусилля Mm Nm , Qm від одиничної сили як функції координати х довільного перерізу; _ _ __
4) знайдені вирази зусиль Mn Nn , Qn Mm Nm , Qm, підставляються в праву частину формули переміщень і інтегруванням по ділянках в межах всієї споруди визначається шукане переміщення mn- . Якщо mn додатнє - то переміщення співпадає з напрямком одиничної сили, якщо від”ємне - то протилежне цьому напрямку.
При розрахунку балок та рам вплив поздовжніх та поперечних сил на переміщення не враховується, крім окремо вказаних випадків.
8.5. Переміщення від зміни температури
Формула Мора може бути подана у вигляді
де
=
Mndx/EJ
—
взаємний кут повороту торцевих перерізів
елемента
dx
стержня від заданого навантаження;
=
Nndx/EF
—
взаємний зсув їх у напрямі осі стержня;
=
i
—
взаємний зсув їх у напрямі нормалі до
осі стержня.
Рис. 8.7
У такому вигляді формула Мора може бути використана, коли деформації елемента dx стержня викликані не тільки внутрішніми зусиллями в його поперечних перерізах від навантаження, але і дією температури на споруду. Отже, формулою Мора в приведеному вигляді можна користуватися і для визначення переміщень системи, викликаних дією температури.
Хай верхнє волокно елемента dx нагріто на t1, а нижнє — на t2 (рис. 8.7). Розподіл температури по висоті поперечного перетину приймемо по прямолінійному закону.
При температурному коефіцієнті лінійного розширення а подовження верхнього волокна рівно at1dx, а подовження нижнього волокна at2dx. Осьове подовження xn=xt можна отримати як середнє арифметичне вказаних величин (при поперечному перерізі, симетричному щодо горизонтальної осі):
.
Кут взаємного повороту крайніх поперечних перетинів (елемента dx) рівний:
.
Деформації зсуву в елементі dx від дії температури не виникають, тобто yn = 0.
Підставивши знайдені значення, отримаємо формулу для знаходження температурних перемещень:
.
Знаки Σ означають підсумовування по всіх стержнях і ділянках споруди. При обчисленні переміщення mt інтегрування поширюється лиш на ті елементи споруди, температурний режим яких змінився.
Для випадку прямолінійних або ламаних стержнів постійного перерізу інтеграли можуть бути підраховані як площі одиничних епюр, і формула переміщень приймає простий вигляд:
.
Знаки членів формули mt визначають так: якщо деформації елемента dx від температури і одиничної сили одинакові, то й знак відповідного члена буде додатнім, і навпаки.
При визначенні переміщень від дії на споруду температури не можна нехтувати членом формули, залежним від подовжньої сили.