5.4. Визначення зусиль за допомогою ліній впливу

Тепер покажемо, яким чином проводяться обчислення зусиль за допомогою ліній впливу. При цьому розглянемо дію наступних двох видів навантаження:

1) зосереджених сил;

2) рівномірно розподіленого навантаження.

Дія зосереджених сил. Для визначення якого-небудь зусилля, викликаного вантажем Р₁, треба під вантажем виміряти ординату лінії впливу цього зусилля і помножити її на величину вантажу. Якщо на споруді діє декілька вантажів, то на підставі принципу незалежності дії сил те ж саме слід виконати для кожного вантажу (тобто ординату лінії впливу під кожним вантажем помножити на величину вантажу) і отримані результати додати.

Для визначення, наприклад, згинаючого моменту в перерізі / (лінія впливу М.₁ побудована на рис.5.7) необхідно величину вантажу Р₁ перемножити на ординату h₁ лінії впливу M₁ (оскільки ордината h₁ від”ємна, то і добуток P₁h₁ буде від”ємним), величину вантажу Р₂ — на ординату h₂, а величину вантажу Р₃ — на ординату Н₃.

Згинаючий момент М₁ від дії вантажів Р₁ Р₂ Р₃ буде дорівнювати

.

Ординати лінії впливу M₁ вимірюються в масштабі довжин. Якщо сили задані в кН, а ординати М₁ — в метрах, то добуток Рh, що дає величину згинаючого моменту, буде в кН*м.

Аналогічно обчислюється і поперечна сила в перерізі / (лінія впливу Q побудована на рис. 5.7,в):

де h₁, h₂ і h₃ — ординати лінії впливу Q₁ відповідно під вантажами P₁, P₂ і P₃.

Рис. 5.7

Ординати лінії впливу поперечної сили — величини безрозмірні. Отже, добутки Рh', що дають величини поперечної сили, будуть мати таку ж розмірність, як і сила Р.

Подібним же чином можна знайти і величини опорних реакцій за допомогою відповідних ліній впливу.

Одже, щоб обчислити який-небудь чинник (опорну реакцію, згинаючий момент, поперечну силу, зусилля в якому-небудь елементі ферми і т. д.) від декількох зосереджених сил, треба на побудованій для цього чинника лінії впливу заміряти ординати під вантажами і знайти алгебраїчну суму добутків величин вантажів на відповідні їм ординати лінії впливу.

Дія рівномірно розподіленого навантаження. Для визначення згинального моменту в перерізі І (рис.5.8) від рівномірно розподіленого навантаження q заміним на безкінечно малій ділянці dx це навантаження зосередженою силою qdx. Тоді момент від цієї сили в перерізі І дорівнює qdxh_x, де h_x - ордината лінії впливу М₁ під силою, а від всього розподіленого навантаження

М₁ =  qdxh_x = q  h_xdx;

Вираз під знаком інтеграла – це елементарна площа лінії впливу М₁, а інтеграл в межах дії рівномірно розподіленого навантаження дорівнює площі  лінії впливу М₁ в цих межах, тобто

М₁ = q.

Одже, для визначення величини зусилля від рівномірно розподіленого навантаження необхідно перемножити площу частини лінії впливу цього зусилля в межах дії розподіленого навантаження на його інтенсивність.

.

Тема 6. Розрахунок ферм на рухоме навантаження

Передача навантаження на ферму відбувається у вузлах-шарнірах; отже, тут ми маємо випадок вузлової передачі навантаження. Тому все сказане про побудову ліній впливу при вузловій передачі навантаження на балку відноситься і до ферм.

Аналогічно способам визначення зусиль у фермах при нерухомому навантаженні розрізняються наступні прийоми побудови ліній впливу для ферм:

1) спосіб моментної точки,

2) спосіб проекцій.

Спосіб моментної точки. Побудуємо лінію впливу зусилля в стержні 7—9 ферми, зображеної на рис. 6.1, а. Проведемо розріз / — /, що перетинає три стержні.

Коли вантаж Р = 1 знаходиться праворуч від вузла 8 (рух вантажу відбувається по верхньому поясі ферми), зручніше розглядати рівновагу лівої відсіченої частини ферми (рис. 6.1, б), тому що на неї в цьому випадку діє менше сил, ніж на праву.

Застосовуючи для визначення зусилля U₇₉ спосіб моментної точки, складемо рівняння суми моментів усіх сил, що діють на ліву частину ферми, відносно точки 6:

.

Звідки

.

Таким чином, при положенні вантажу Р = 1 на правій частині ферми зусилля U₇₉ дорівнює лівій опорній реакції R_A, помноженій на постійний коефіцієнт 3d/h. Одночасно відзначаємо, що 3R_Ad чисельно дорівнює згинаючому моменту в простій балці для перетину з абсцисою, рівної абсцисі моментної точки 6.

Лінія впливу зусилля U₇₉ (коли вантаж Р = 1 розташований направо від вузла 8) являє собою лінію впливу опорної реакції R_A з ординатами, помноженими на 3d/h. Тому для її побудови відкладемо на осі відліку вгору на лівій опорній вертикалі ординату, рівну 3d/h, і з'єднаємо прямою її вершину з нульовою точкою на правій опорній вертикалі; в результаті одержимо пряму а₁b (рис. 6.1, г).

На побудовану в такий спосіб пряму, названу правою прямою, зносимо праві вузли ферми 8, 10, 12, 14 і 16. Заштриховуємо лінію впливу на ділянці між вузлами 8 і 16.

Рис.6.1

При вантажі Р = 1, розташованому лівіше вузла 6, зусилля в стержні 7—9 може бути знайдене з рівняння рівноваги для правої частини ферми (рис. 6.1, в):

,

звідки

,

тобто зусилля в стержні 7—9 дорівнює правій опорній реакції R_B , збільшеній в5d/h. Добуток 5d/h чисельно дорівнює згинаючому моменту простої балки для перетину з абсцисою, рівною абсцисі моментної точки 6.

Лінія впливу U₇₉ для вантажу, розташованого лівіше вузла 6, будується в такий спосіб: від осі відліку нагору на правій опорній вертикалі відкладається ордината, рівна 5d/h, після чого її вершина з'єднується з нульовою точкою на лівій опорній вертикалі (пряма b₁а на рис. 6.1, г). Побудована в такий спосіб пряма зветься лівою прямою;на цю пряму зносяться ліві вузли ферми 1, 2, 4 і 6. Заштриховуємо лінію впливу на ділянці між вузлами 1 і 6.

Тому, що зусилля U₇₉ визначається формулою

U₇₉= /h

та його лінія впливу може бути отримана з лінії впливу згинаючого моменту простої балки (для перетину, що відповідає вертикалі, яка проходить через моментну точку у фермі) множенням усіх її ординат на коефіцієнт 1/h. Тому прямі ab₁ і a₁b_{1 (}ліва і права), що з'єднують вершини опорних ординат з нульовими точками на протилежних опорах, перетинаються один з одним під моментною точкою (у точці с). Передаточна пряма, що відповідає руху вантажу Р = 1 між вузлами 6 і 8 розсіченої панелі, у даному випадку збігається з продовженням правої прямої лінії впливу.

Розглянутий приклад дозволяє сформулювати порядок побудови ліній впливу зусиль для елементів балкової ферми на двох опорах способом моментної точки:

1) при побудові правої прямої варто відкласти від осі відліку на лівій опорній вертикалі (вверх або вниз, в залежності від знака) ординату a/h, де a — відстань від моментної точки до лівої опорної вертикалі, h — плече зусилля відносно моментної точки;

2) вершину опорної ординати з'єднати з нульовою точкою на правій опорній вертикалі;

3) на побудовану таким чином праву пряму знести праві вузли ферми;

4) знайти на правій прямій точку її перетину з лівою прямою, для чого моментну точку знести на праву пряму;

5) точку перетинання правої і лівої прямих з'єднати з нульовою точкою на лівій опорній вертикалі;

6) на побудовану в такий спосіб ліву пряму знести ліві вузли ферми;

7) вершини вузлових ординат розсіченої панелі з'єднати передаточною прямою.

Можна починати побудову лінії впливу і з лівої прямої. У цьому випадку на правій опорній вертикалі відкладається від осі відліку ( вверх або вниз, в залежності від знака) ордината b/h, де b — відстань від моментної точки до правої опорної вертикалі та h — плече зусилля відносно моментної точки. Потім через вершину відкладеної в такий спосіб ординати і нульову точку на лівій опорній вертикалі проводиться ліва пряма, після чого будуються права і передаточна прямі.

Спосіб проекцій. Побудуємо лінію впливу зусилля в розкосі 6—9 ферми, зображеної на рис. 6.1, а.

Коли вантаж Р = 1 розташований між вуздами 5 і 16 (рух по верхньому поясі), розглядаємо рівновагу лівої відсіченої частини ферми (рис. 6.1, б). Складемо рівняння проекцій усіх сил на вертикальну вісь:

,

звідки

.

При вантажі, розташованому між вузлами 1 і 6, розглядаємо умову рівноваги правої частини ферми (рис. 6.1, в). Спроектувавши всі сили на вертикальну вісь, одержимо

,

звідки

Формули для зусилля D₆₉ показують, що поки вантаж розташований на правій частині ферми, лінія впливу D₆₉ може бути отримана множенням ординат лінії впливу опорної реакції R_A на постійний коефіцієнт 1/sin a; коли ж вантаж Р = 1 знаходиться в межах лівої частини ферми, зусилля D₆₉ дорівнює опорній реакції R_B помноженій на (—1/sin a).

Для побудови правої прямої відкладаємо від осі відліку нагору на лівій опорній вертикалі ординату 1/sin а і з'єднуємо її вершину з нульовою точкою правої опорної вертикалі (пряма а₁b на рис. 6.1, д). На побудовану в такий спосіб праву пряму зносимо праві вузли: 8, 10, 12, 14 і 16.

Для побудови лівої прямої від осі відліку на правій опорній вертикалі відкладаємо вниз ординату 1/sin а, вершину якої з'єднуємо з нульовою точкою лівої опорної вертикалі. На побудовану ліву пряму (пряма ab₁ на рис. 6.1, д) зносимо ліві вузли: 1, 2, 4 і 6.

Передаточна пряма з'єднує вершини вузлових ординат розсіченої панелі.Помітимо, що й у цьому випадку права пряма перетинається з лівою під моментною точкою. Справді, моментна точка для зусилля D₆₉ знаходиться в нескінченності; там же перетинаються права і ліва прямі, паралельні між собою.

Лінія впливу зусилля D₆₉ має ділянки з додатніми і від’ємними ординатами. Отже, стержень 6—9 під час руху вантажу по фермі може бути як стиснутий, так і розтягнутий.

Побудуємо тепер лінію впливу зусилля в стійці 6—7 (рис. 6.1, a). У цьому випадку спосіб моментної точки не застосуємо, тому що доводиться розсікати ферму перерізом, в який попадають чотири стержні (переріз //—// або Ill—Ill).

Найкраще тут скористатися способом вирізання вузлів (рис. 6.1, е). Вирізувавши вузол 7, складемо для нього рівняння рівноваги у вигляді суми проекцій усіх сил на вертикальну вісь:

,

звідки