26 Предмет и основные понятия теории игр.

Во многих областях человеческой деятельности встречаются проблемы принятия управленческих решений в условиях неопределённости.Неопределённость может быть связана как с сознательными действиями конкурента,так и с другими факторами,влияющими на эффективность принимаемого решения.Ситуациии,в которых эффективность принимаемого одной стороной решения зависит от действий другой стороны назыв.конфликтными.Теория игр-раздел математики,изучающий конфликтные ситуации на основе математических моделей,т.е.это математическая теория,разрабатывающая оптимальные правила поведения каждого из участников в конфликтной ситуации.конфликтная ситуация назыв.антоногестической,если увеличение выигрыша одной из сторон на некоторую величину приведёт к уменьшению выигрыша другой стороны на такую же величину, и наоборот.Стороны,учавствующие в игре(конфликте)назыв.игроками.Стратегия игрока- совокупность правил,однозначно определяющих последовательность действий игрока в кнкретной конфликтной ситуацииюстратегия игрока назыв.оптимальной,если она обеспечивает данному игроку при многократном появлении игры максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный проигрыш,независимо от действий конкурента.Выбор одной из стратегий и её осуществление назыв.ходом.Ходы бывают личные и случайные.Ход назыв. личным,если игрок сознательно выбирает один из возможных вариантов действий и осуществляет его.Ход назыв.случайным,если выбор выбор осуществляется не игроком,а случайным механизмом.Партией назыв.каждый вариант реализации игры определённым образом.в конце каждой партии игрок Ai ,i=1,m получает сумму ai ,i=1,m, которая назыв.функцией выигрыша(платёжной функцией),которая может задаваться либо выражением,либо количеством.Числа Ai могут быть положительными,отрицательными или равными 0.Если ai>0,то это соответствует выигрышу i-того игрока,ai<0 – проигрышу,ai=0 – ничейный исход.

27 Матричные игры с нулевой суммой

Будем рассматривать конечные парные игры,т.е. игры,в кот. у каждого из 2-ух участников А,В конечное число стратегий.В большинстве случаев имеем игры с нулевой суммой,т.е. когда сумма выйгрыша одного игрока равна сумме проигрыша другого,т.е. выйгрыш перераспределяется между игроками,не поступоя из внешних источников.Парную игру с нулевой суммой удобно исследовать,когда она записана в виде платёжной матрицы:

[a₁₁ a₁₂ ……a_1n

a₂₁ a₂₂......a_2n

……………

a_m1 a_m2……a_mn]

где каждый а_ij ,i=1,m; j=1,n является действительным числом и представляет собой сумму выигрыша, уплачиваемую игроком В игроку А, или игрок А выбирает стратегию соответствующей i-той строке, а игрок В j-тому столбцу.Такие игры наз. матричными.Целью участников любой матричной игры явл. выбор наиболее выгодных стратегий,которые доставляют игроку А максимальный выигрыш, а игроку В минимальный проигрыш.Чистая стратегия А_i , i=1,m игрока А-возможный ход игрока А(В), выбранный им с вероятностью 1.Если игра состоит из личных ходов,то выбор пары чистых стратегий(А_i ,B_j) единственным образом определяет исход игры. Если в игре используются случайные ходы,то исход игры определяется средним значением выигрыша (математическим ожиданием).Стратегию игрока А наз. оптимальной,если при её применении выигрыш игрока А не уменьшается, какими бы стратегиями не пользовался бы игрок В.Оптимальным для игрока В наз. стратегия при использовании которой проигрыш игрока В не увеличивается, какие бы стратегии не применял игрок А.

28 Решение матричных игр в чистых стратегиях.

Если игрок А применяет m стратег., а игрок В - n страт., то для любой пары стратегических игроков чистые стратегии можно представить в виде единичных векторов. Так, для пары стратегий (Ai;Bj) чистые стр. можно записать в виде: p_i =(0,0,…,0,1,0,…,0)

q_j= (0,0,…0,1,0,…,0)

При поиске оптим стратегии игр опир-я на принцип m игрок – принцип осторожности, согласно кот. игроки одинаково разумны и кажд делает все чтобы достичь св цели. Используя этот принцип найдем оптим стратегию игрока А.

Для стр Ai, i=1;m игрок А найдет min значен ожидаемого выигрыша αi=min aij i=1;m. Среди значений αi выберет наиб α=max αi и соответ. Ему чистую стратегию Ai^*, т.е. α=maxmin aij

α- называют нижней чистой ценой игры (максимином), α- гарантиров. выигр., кот мож обеспечить себе игрок А при любом поведении игрока В. Стратегия Ai^* - максиминная стратегия.

Найдем оптим стратег игрока В, который заинтересован уменьшить свой проигрыш. Для кажд стратег Bj, j=1;n игрок В сначала найдет максимально возможный проигрыш βj=max aij, j=1;n, затем среди значений Bj он найдет min значение β=min Bj, j=1;n и соответствующую ему стратегию BJ^*, т.е. β=minmax aij

Величина β - верхняя чистая цена игры, β- проигрыш игрока В независимо от действий А. Bj^*– минимаксная стратегия.

Теорема1. В матричн игре максимин не превосходит минимакс, α<= β