29 Игры с седловой точкой.

Если в матр. игре нижняя и верхняя цены совпад., т.е. α=β, то такая игра наз. игрой с седл. точкой. α=β=ν наз. чистой ценой игры, а стратегии i* и j*, позволяющие достичь этого знач. наз. оптимальными чистыми стратегиями. Пару числ. страт. (Аi*, Вj*) наз. седл. т-кой. ai*j* - седловой эл-нт. Признак матр. игры с седл. т-кой: max(по i) min(по j)(аij ) = min(по j)max(по i) = a i*j*. В матр. игре может быть неск-ко седл. т-к. Эл-нт ai*j* явл. наимен. в i* строке и наибольш. в j* столбце, ai*j*>= aij*, ai*j*<= ai*j.

30 Смешанной стр-ей игр.А (игр.В) наз. вектор

p =(p1, p2, …, pm), pi≥0, i=1,m; (для игр.А)

q=(q1, q2, …, qn), qj≥0, j=1,n; (для игр.В)

Это знач., что игр.А выбирает стр-ию Аi с вер-стью pi, ф игр.В – стр-ию Bj с вер-стью qj.

Т .к. игроки выбирают свои стр-ии случайно и независимо друг от друга, то выбор комбинации (Ai, Bj) будет равна произведению вер-стей pi*qj. Знач., случайной будет и величина выигрыша игр.А (проигрыша игр.В), т.е. вести речь можно лишь о ср. величине выигрыша – о матем. ожидании, величина кот. явл. ф-цией от смешанных стр-гий p и q и опред. по ф-ле:

f (p, q) =

Стр-гии p* и q* наз. оптимальными, если для произвольных стр-гий p=(p1, p2, …, pm) и q=(q1, q2, …, qn) выполняется след. условие:

f (p, q*) ≤ f (p*, q*) ≤ f (p*, q).

Из последнего нер-ва следует, что в седловой точке (p*, q*) платежная ф-ция f (p, q) достигает max по смеш. стр-гиям игр.А и min – по смеш. стр-гиям игр.В.

Значение плат. ф-ции при оптим. стр-гиях опред. цену игры: V=f (p*, q*).

Теорема2: В смеш. стр-гиях любая конечная матричная игра имеет седловую точку.

Теорема3: Для того, чтобы смеш. стр-гии p* и q* игроков А и В были оптим-ми в игре с матрицей [aij]m*n и ценой игры V необход. и достат. выполнение нер-в:

1 ) ≥V, j=1,n

2 ) ≤V, i=1,m

Чистые стр-гии игрока, входящие в его оптим. смеш. стр-гию с вер-стями, отличными от 0, наз. активными стр-ми игрока.

Теорема4: Если 1 из игороков придерживается своей оптим. смеш. стр-гии, то его выигрыш остается неизменным и равен цене игры независимо от того, какую стр-гию применяет др.игрок, если только тот не выходит за рамки своих активных стр-гий.

На основании Т4 решение матричной игры можно упростить, выявив доминирование одних стр-гий над др.

Теорема5: Оптим. смеш. стр-гии p* и q* игроков А и В в матричной игре [aij]m*n и ценой игры V будут оптим-ми и в матричной игре [b*aij]m*n и ценой игры V’=b*V+C, где b>0.

На основании Т5 плат.матрицу, имеющую отриц. числа можно преобразовать в матрицу с полож. числами.

31 Решения матричной игры сведения к задаче линейного программирования

Пусть имеем матричную игру размерности mхn с матрицы:

Предположим,что р*,q*-оптимальные смешанные стратегии игроков А и В.Стратегия р* игрока А гарантирует ему выигрыш не меньше v не зависимо от выбора стратегии Вj игроком В

a₁₁p₁+a₂₁p₂+…+a_m1p_m≥v

a₁₂p₁+a₂₂p₂+…+a_m2p_m≥v

……………..

a_m1p₁+a_2np₂+…+a_mnp_m≥v

где _{, pi≥0, i=1,m}

Аналогично стратегия q* игрока В гарантирует ему проигрыш не больше v не зависимо от выбора стратегии Аi игроком А

a₁₁q₁+a₂₁q₂+…+a_m1q_m≥v

a₁₂q₁+a₂₂q₂+…+a_m2q_m≥v

……………..

a_m1q₁+a_2nq₂+…+a_mnq_m≥v

где , q_j≥0,j=1,n

На основании теоремы 5(оптимальные смешанные стратегии р* и q* игроков А и В в матричной игре [a_ij] и ценой игры v будут оптимальными и в матричной игре[ba_ij+c]mxn и ценой игры =bv+c,b>0) элементы платёжной матрицы всегда можно сделать положительными.Значит,цена игры v >0.Преобразуем системы (1)и(2),разделив обе части каждого неравенства на положительное число v и введём след.обозначение ,что

……………..

Поскольку игрок А стремится максимизировать цену v,то обратная величина 1/v будет минимизироваться,поэтому оптимальная стратегия игрока А будет определяться из задачи ЛП след. вида: min f= x₁+ x₂+…+ x_m,при ограничениях (3),а оптимальная стратегия игрока В будет определяться из задачи след.вида: max φ= y₁+ y₂+…+ y_n

При решении этих задач мы найдём Х* и У* и после этого найдём цену игры

……