2. Определениесреднегоарифметическогоотклонения

Среднееотклонение(среднееарифметическоеотклонение)

показываетсреднееотклонениеабсолютныхзначенийотсреднегозначения:

_|x_i

• X_CP|

n

(2.2)

где ^х_i

–результатызамеров(числовыезначения)с^i-мпо-

рядковымномером;

^X_CP—среднеезначение(повсемзамерамод-

ногопараметраводномэксперименте);^n—размервыборки(ко-личествозамеров).

Пополученномусреднемуотклонениюможнооцениватьдиа-пазонвозможногоиспользованияобъекта(результатазамера)всо-ответствиисдопускаминаразмеры.

Среднееарифметическоеотклонениеабсолютныхзначенийданныхотсреднегозначенияпоказывает,насколькоточнопрове-

денызамерыотносительноистинногозначенияприусловии,что

деталиимеютдействительноодинаковоезначениеразмеров.

Напрактикеидеальноточноизготовитьвседеталисодинако-вымиразмерамичащевсегоневозможноввидутехнологическихособенностейизготовленияисвойствматериалов.

Всвязисэтим,используяданныйпоказатель,исследователь,

имеетправооценитькачествоиточностьизготовлениядеталей.

Такжеизучаемыйпоказательможноиспользоватьдляоценкиотдельнойдетали.Приэтомпроводятнесколькозамероводногои

тогоэлемента,например,диаметрашейкиколенчатоговала.Изме-рениявэтомслучаепроводятвразныхплоскостяхводномитомжесечении.

Дляоценкистепениизносадеталей,находящихсяопределен-ноевремявэксплуатации,необходимопровестиисследованиеоп-ределенныххарактеристикэтихдеталей.Порезультатамиспыта-

ний(измерений)даетсязаключениеовозможностидальнейшегоиспользованиядеталейилиихвыбраковывания.

Выбраковываниедеталейвозможноразнымиметодами,на-

пример,используяметод

3

(«плюсминустрисигма»)отсред-

негозначения(или6сигм).

Указанныйметодможноиспользоватьидлявыбраковкипо-лученныхрезультатовзамеров,чтоподтверждаетсяпрактикойоб-

работкимногочисленныхисследований.Например,приисследова-нииусилияразрыванитиилипроволокиисследовательполучаетразныерезультаты.Дажепривизуальноманализеполученныхдан-

ныхвозникаетвопрос,почемунекоторыеданныесущественноот-личаютсяотостальных,имеютбольшоеотклонениеотсреднего

значениягенеральнойсовокупности.

3. Определениестандартногоотклонения(среднейквадратичнойпогрешности,среднеквадратическогоотклоне-ния)

Дляоценкислучайнойпогрешностиизмерениясуществует

несколькоспособов.Наиболеераспространенаоценкаспомощью

стандартногоотклоненияилисреднейквадратичнойпогреш-

ностиσ(еѐчастоназываютстандартнойпогрешностьюилистан-дартомизмерений).

Среднейквадратичной(среднеквадратическимотклонением)

погрешностьюповсейгенеральнойсовокупностиназываетсяве-личина:

_n

n

2

_(X_CPx_i)

i1

n

(2.3)

Среднейквадратичнойпогрешностью(выборки)называетсявеличина:

n

^(XCP

• i

  x)²

S_n

i1

n1

(2.4)

Есличислонаблюденийоченьвелико,топодверженнаяслу-чайнымколебаниямвеличинаS_{nстремит}сякпостоянномузначе-

нию^:

limS_nn

(2.5)

Такимобразом,порезультатамизмеренийтеоретическивсе-

гдавычисляетсяне^,аеѐприближенноезначениетемближек^,чембольшеn.

^S_n,которое

Квадрат этой величины называется дисперсией измерений

(суммаквадратовотклонений):

_D^i CP

(хX )²

n

(2.6)

Чащеданныйпоказательназываютсреднеквадратическимот-

клонениемилисигма–𝜎(среднеквадратичнойпогрешностью),ко-

торыйтакжеможноопределитькаккореньквадратныйиздиспер-

^{сии𝜎=��.}

Повеличинедисперсиисудяторазбросеполученныхрезуль-

татовзамераотносительносреднегозначения.

Такоеутверждениеисходитизсутисамойформулы(2.6)дляопределениядисперсии.

Аналогичноможнополучитьвсеинтересующиестатистиче-

скиепараметрыпомассивурезультатовисследований.

Припринятиирешенияовозможностидальнейшегоисполь-зованиядеталейвпроизводстве,атакжевнаучныхисследованиях

частоиспользуютпонятие–размер

3

.Основываясьнаэтом

принципе,производятвыборкудеталейдлядальнейшегоиспользо-вания.Приохватедеталейсразмерамивпределахстандартного

отклонения

3

отсреднегозначения(или6сигм)будетисполь-

зовано95%изготовленныхдеталей,а5%деталейбудутзабракова-

ныввидуотклоненийразмеровболее

3

отсреднегозначения.

Нарисунке2.1представленакриваянормальногораспределения,накоторойзафиксированосреднеезначениевыборкиипределыстандартногоотклонения.

Примечание.Соотношение,устанавливающеесвязьмеждувозможнымизначениямислучайнойвеличиныиихвероятностями,называетсязакономраспределенияслучайнойвеличины.Закон

распределениядискретнойслучайнойвеличиныобычнозадаетсяспомощьюгистограммы,анепрерывной–спомощьюкривойнор-мальногораспределения(кривойГаусса).

ФункцияраспределенияF(x)исоответствующаяейплотностьраспределенияf(x)представляютсобойнекоторуюматематическуюмодельсвойствисследуемойслучайнойвеличины(отклика),значе-ниякоторойрегистрируютсявходеэксперимента.Поэтомуодной

изосновныхзадачстатистическойобработкиопытныхданныхяв-ляетсянахождениетакихфункцийраспределения,которые,содной

стороны,достаточнохорошоописывалибынаблюдаемыезначения

случайнойвеличины,асдругой-былибыудобныдлядальнейше-гостатистическогоанализа.Нормальнымназываетсяраспределе-ниевероятностейнепрерывнойслучайнойвеличины,котороеопи-сываетсяплотностьювероятности.

НормальныйзаконраспределениятакженазываетсязакономГаусса.

Можнолегкопоказать,чтопараметры,входящиевплотностьраспределенияявляютсясоответственноматематическиможидани-

емМ_x(среднимзначением)исреднимквадратичнымотклонением(стандартнымотклонением)случайнойвеличиныx_i.

Длярассматриваемогопримератехническимитребованиями

устанавливаетсядопустимоеотклонениевзависимостиотназначе-нияизделия.

Какизвестноизтеории,икакпоказывают расчѐты,чтов

68,27%отклоненияслучайнойвеличины,распределѐннойпонор-мальномузакону,непревышаютσ,в95,45%–2σ.Наконец,веро-

ятностьтого,чтослучайнаявеличина,распределѐннаянормально,

отклоняетсяотматематическогоожиданиябольше,чемна3σ,пре-небрежимомалаисоставляет0,27%–правилотрѐхсигм.

Параметрсигма-^широкоиспользуется,каквтеории,таки

впрактикеисследованийиоценкепроизводственныхситуаций.

Впринципееслизабраковатьрезультатыисследованийвыхо-

дящихзапределы

3

свысокойвероятностьюможнопредполо-

житьчтозабракованныерезультатыбудутвыбракованыиприис-пользованиикритерияСтьюдентадляоценкисильноотличающих-сярезультатов.

Рисунок2.1–Иллюстрациякправилу«Трѐхсигм»