- •И.Л. Корнилова, н.Н. Парамонова, а.П. Табурчак транспортные задачи в экономико-математическом моделировании
- •Введение
- •3.2 Разрешимость транспортной задачи
- •3.3 Открытая и закрытая модели транспортной задачи
- •3.4 Задача о распределении специалистов, как пример альтернативной экономической интерпретации транспортной задачи
- •3.5 Опорный план транспортной задачи
- •3.5.1 Метод северо-западного угла построения опорного плана транспортной задачи
- •3.5.2 Метод наименьшей стоимости
- •3.5.3 Метод аппроксимации Фогеля
- •3.6 Метод потенциалов
- •3.7 Пример решения задачи методом потенциалов
- •3.8 Модификации транспортной задачи
- •3.9 Порядок выполнения работы
- •4 Оформление результатов работы
- •5 Контрольные вопросы
- •3.2 Отчет по результатам для транспортной задачи
- •3.3 Отчет по устойчивости для транспортной задачи
- •3.3.1 Отчет по устойчивости для переменных
- •3.3.2 Отчет по устойчивости для ограничений
- •3.4 Отчет по пределам для транспортной задачи
- •Приложение а (рекомендуемое) Задача о назначениях
- •Приложение б (обязательное) Введение в "Систему деловых задач"
- •Содержание
- •Транспортные задачи в экономико-математическом моделировании
- •1 90013, Санкт-Петербург, Московский пр., 26
3.5 Опорный план транспортной задачи
Метод решения транспортной задачи представляет собой развитие идеи симплекс-метода [3] и тоже основан на переборе опорных планов этой задачи. Опорный план должен включать столько базисных переменных, сколько в задаче линейного программирования независимых уравнений.
Если бы система ограничений закрытой транспортной задачи была линейно независимой, то базисных переменных было бы m+n. Но из задач (6) и (7) видно, что такая система линейных уравнений является линейно зависимой (например, если сложить все ограничения из первой и все из второй группы, а затем вычесть из одной суммы другую, в левой части получится ноль). Можно доказать, что если удалить из системы одно ограничение, то она станет независимой (одно ограничение является лишним, оно следует из остальных). Следовательно, базисных переменных должно быть m+n-1.
Для построения опорного плана транспортной задачи разработано несколько способов, наиболее распространенным является метод северо-западного угла.
3.5.1 Метод северо-западного угла построения опорного плана транспортной задачи
Этот метод принято сокращенно обозначать МСЗУ.
Представим опорный план транспортной задачи в виде таблицы, строки которой будут соответствовать поставщикам (с их запасами ai), столбцы – потребителям (с их потребностями bj), а ячейки – компонентам опорного плана (например, в первой строке первого столбца будет стоять значение переменной x11). Будем заполнять лишь те ячейки, которые будут соответствовать базисным компонентам, переменные в незаполненных ячейках равны нулю.
|
x11 |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
b1 |
b2 |
|
|
bm |
|
Применение метода начинают с того, что рассматривают левый верхний («северо-западный») угол таблицы, который соответствует переменной x11, т.е. перевозкам от первого поставщика к первому потребителю. Сравнивают их запас и потребность - a1 и b1.
1). Если a1 < b1, то x11 = a1, т.е. всю продукцию первого поставщика отправляют к первому потребителю.
После этого первую строку исключают из рассмотрения (все остальные x1j = 0). В самом деле, ведь запасы первого поставщика уже закончились. Следовательно, больше никому ничего везти от него нельзя.
Первому столбцу вместо b1 ставят в соответствие b1`= b1 - a1, поскольку потребность первого потребителя снизилась (она уже частично удовлетворена).
Затем снова рассматривают левый верхний угол оставшейся части таблицы (без первой строки), т.е. х21.
2). Если a1 > b1 , то x11 = b1., т.е. первого потребителя полностью удовлетворяют за счет запасов первого поставщика, после чего этого потребителя (первый столбец) исключают. Запасы первого поставщика уменьшаются a1`= a1 - b 1.
Затем рассматривают левый верхний угол оставшейся части таблицы (без первого столбца), т.е. х12.
3). Если a1 = b1, то можно исключить либо столбец, либо строку.
Далее действуют аналогично, т.е. либо принимают х21 = min {b1`;a2}, либо принимают х12 = min {b2; a1`}. Процесс продолжается до тех пор, пока не будут исключены из рассмотрения все ячейки. При этом окажется заполненной m+n-1 клетка таблицы.
Рассмотрим применение данного метода к задаче о холодильных установках. Для этого необходимо построить таблицу из трех строк и столбцов, соответствующих шести центрам производства и сбыта (включая дополнительный). Чтобы построить опорный план, необходимо заполнить 3 + 3 – 1 = 5 клеток этой таблицы.
Ее левый верхний угол будет соответствовать поставкам холодильных установок из Стокгольма в Лейпциг (переменной x11). Так как в Стокгольме производится меньше установок, чем необходимо поставить в Лейпциг (a1 < b1, 120 < 150), то направим все эти 120 установок в Лейпциг (x11 = 120). После этого Стокгольм (первую строку таблицы) можно исключить из рассмотрения, так как холодильных установок в этом центре сбыта больше не осталось. В Лейпциг же необходимо поставить еще 150 – 120 = 30 установок, поэтому Лейпцигу (первый столбец) ставится в соответствие новое значение потребностей – 30:
|
Лейпциг |
Лион |
дополнительный центр сбыта |
|
Стокгольм |
120 |
|
|
120 |
Триест |
|
|
|
40 |
Руан |
|
|
|
90 |
|
|
90 |
10 |
|
Левый верхний угол новой таблицы соответствует поставкам продукции из Триеста в Лейпциг. Так как min{30; 40} = 30, в Лейпциг направляется 30 установок (x21 = 30), после чего потребности Лейпцига удовлетворены полностью, и второй столбец можно исключить из рассмотрения. В Триесте осталось 10 установок:
|
Лейпциг |
Лион |
дополнительный центр сбыта |
|
Стокгольм |
120 |
|
|
120 |
Триест |
30 |
|
|
|
Руан |
|
|
|
90 |
|
|
90 |
10 |
|
Аналогично поставки продукции из Триеста в Лион принимают равными 10 (x22 = 10), а из Руана в Лион – 80 (x32 = 80). После этого в Руане остается еще 10 установок, которые следует перевезти в дополнительный центр сбыта (т.е. потребность в них в рамках данной модели на самом деле отсутствует) - x33 = 10. После этого можно будет исключить из рассмотрения и последний столбец:
|
Лейпциг |
Лион |
дополнительный центр сбыта |
|
Стокгольм |
120 |
|
|
120 |
Триест |
30 |
10 |
|
|
Руан |
|
80 |
10 |
|
|
|
|
10 |
|
Итак, заполнены пять клеток таблицы, соответствующие базисным переменным. Остальные четыре переменные являются небазисными и равны нулю (x12 = x31 = x13 = x23 = 0), т.е. при таком плане перевозок из Стокгольма в Лион и из Руана в Лейпциг холодильные установки не перевозятся, при этом из Стокгольма и Триеста вывозятся все установки, излишков не остается.
Получен допустимый план, который можно использовать в качестве опорного и начать с него решение задачи. Впоследствии от этого плана мы будем переходить к другим, более дешевым. Чтобы наглядно убедиться, что впоследствии мы получим более выгодные планы перевозок, можно подсчитать, во сколько обойдется оплата перевозок по плану, построенному МСЗУ. Для этого подставим его в целевую функцию задачи: 25x11 + 14x12 + + 18x21 + 8x22 + 12x31 + 6x32 = 25*120 + 18*30 + 8*10 + 6*80 = 4100 (ф.ст.)