3.4 Задача о распределении специалистов, как пример альтернативной экономической интерпретации транспортной задачи

Рассмотрим пример использования транспортной модели в ситуации, не связанной с перевозкой продукции.

Например, рассмотрим следующую экономическую ситуацию:

Специалистов n различных групп нужно распределить наиболее эффективным образом по m видам работ. Задана матрица эффективности использования специалиста i-й группы на j-м виде работ c_ij. Кроме того, задано общее количество специалистов каждой группы a_i, и общая потребность в работниках по каждому виду работ b_j, .

Введем переменные х_ij - количество специалистов i-й группы, занятых на j-м виде работ. Тогда модель строится следующим образом:

(8)

Например, НИИ разрабатывает 2 научные программы для молодых ученых, к которым необходимо привлечь соответственно 10 и 7 человек. На участие в них претендуют выпускники аспирантуры 4 учебных заведений, по 5 человек из каждого. Экспертная комиссия пришла к выводу, что эффективность использования одного выпускника каждого учебного заведения в программе № 1 может быть оценена по 5-балльной шкале соответственно в 2, 3, 5 и 1 балл. Для программы № 2 эти оценки составят 3, 1, 5 и 2 балла. Необходимо распределить молодых ученых по научным программам наиболее эффективным образом.

Для построения модели введем переменные x_ij - количество выпускников i-го учебного заведения, направляемых на j-ю программу. Модель примет вид:

min (2x₁₁ + 3x₁₂ + 3x₂₁ + x₂₂ + 5x₃₁ + 5x₃₂ + x₄₁ + 2x₄₂)

x ₁₁ + x₁₂ 5

x₂₁ + x₂₂ 5

x₃₁ + x₃₂ 5

x₄₁ + x₄₂ 5

x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ + x₄₁ 10

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ + x₄₂ 7

Задача (8) разрешима при тех же условиях, что и модель (1). Действительно, если общая потребность в работниках не превышает общего числа специалистов, то ее ОДП не пуста (система ограничений здесь такая же, как в модели (1)). Однако целевая функция здесь не минимизируется, а максимизируется. Может ли она быть не ограничена сверху? Нет, не может. Если выбрать в матрице коэффициентов целевой функции самый большой элемент {c_ij} и предположить, что каждого специалиста каким-то образом удалось устроить на работу с этой самой большой эффективностью, то мы получим суммарную величину эффективности путем умножения {c_ij} на общее число специалистов . Значение целевой функции не может быть больше этой величины. В рассмотренном примере самая большая оценка – 5 баллов, а молодых ученых – 20 человек. Следовательно, суммарная эффективность не может превысить 20 * 5 = 100.

Взяв коэффициенты целевой функции с противоположным знаком, эту задачу можно поставить на min, и тогда очевидна ее эквивалентность транспортной задаче (1).

Транспортная задача в традиционной интерпретации (о перевозках) также может быть поставлена на максимум. Предположим, что коэффициенты целевой функции c_ij представляют собой не затраты на перевозку единицы продукции от i-го поставщика к j-му потребителю, а прибыль от реализации единицы продукции i-го поставщика у j-го потребителя. Целью операции будет получение наибольшей прибыли, т.е. max .

Особый класс транспортных задач представляют собой задачи о назначениях^*.