3.2 Разрешимость транспортной задачи

Проанализируем разрешимость построенной модели. Из теории линейного программирования известно [3], что такая задача может не иметь решений в одном из двух случаев: если у нее отсутствуют допустимые планы (система ограничений несовместна) или ее целевая функция не ограничена (стоимость перевозок можно уменьшать до бесконечности).

Возможен ли первый случай? Сложив почленно все ограничения, связанные с запасами продукции у поставщиков (это первые n ограничений в формуле (1)), можно получить, что суммарные поставки (сумма всех переменных) не превышают общий объем запасов:

(2)

Аналогично из ограничений, связанных с потребностями (в формуле (1) это ограничения с (n+1)-го по (n+m)-ое, т.е. следующие m ограничений), следует, что эта сумма должна быть не менее общего объема потребностей:

(3)

Итак, . Отсюда необходимое и достаточное условие существования допустимого плана транспортной задачи состоит в следующем:

(4)

(общий объем потребностей не превышает общего объема запасов).

Возможно ли, чтобы целевая функция транспортной задачи была не ограничена на минимум? Нет. Она не может быть, например, меньше нуля, поскольку представляет собой сумму неотрицательных слагаемых.

Следовательно, формула (4) представляет собой и критерий разрешимости транспортной задачи. Выполнение этого условия необходимо и достаточно для того, чтобы транспортная задача имела решение.

3.3 Открытая и закрытая модели транспортной задачи

Транспортная задача называется закрытой, если все ее ограничения имеют форму уравнений. В противном случае модель называется открытой. Если бы от каждого поставщика требовалось вывезти всю имеющуюся у него продукцию, ничего не оставляя, а к каждому потребителю было необходимо привезти строго заданное количество продукции, без излишков, то модель была бы закрытой.

К ритерий разрешимости для закрытой модели

(5)

Легко убедиться, что рассмотренный выше пример (задача о холодильных установках) представляет собой открытую модель, и так как 120 + 40 + 90 150 + 90 (250 240), она разрешима. Если поставить эту модель, как закрытую, она станет неразрешимой, так как невозможно без излишков поставить 250 холодильных установок в центры сбыта, которые нуждаются всего лишь в 240 установках.

Любую открытую модель можно преобразовать в закрытую.

Если общие запасы превышают потребности ( ), то в модель вводят еще одного потребителя, (m+1)-го по счету. Его принято называть дополнительным или фиктивным. На самом деле его нет, но условно можно считать, что именно к нему свозят все излишки. Соответственно, его «потребность» в продукции b_m+1 примем равной . Одновременно в модель вводятся n новых переменных x_im+1, . Каждая из этих переменных по экономическому смыслу представляет собой излишек продукции у i-го поставщика (столько продукции «везут» от i-го поставщика фиктивному потребителю). При этом все новые переменные в целевую функцию не входят (т.е. входят с нулевыми коэффициентами c_im+1 = 0), поскольку на самом деле перевозки этой продукции не осуществляются. Излишек продукции остается у поставщиков, следовательно, и платить за его перевозку не надо.

Тогда транспортная задача примет вид:

При этом целевая функция в модели (6) может также иметь вид (отброшенные слагаемые все равно нулевые).

Собственно, в зависимости от экономической интерпретации открытой модели критерий ее разрешимости можно и вообще снять. А именно, если общий объем потребностей превышает объем запасов ( ), можно аналогично ввести дополнительного (фиктивного) поставщика, (n+1)-го по счету. Условно будем считать, что именно у этого поставщика находится вся недостающая продукция, поэтому его запасы а_n+1 = . При этом также придется ввести m новых переменных x_n+1j, - это дефицит продукции у j-го потребителя (т.е. та продукция, которую ему «везут» от несуществующего поставщика; этому потребителю ее не хватит). Разумеется, за перевозки несуществующей продукции не платят, поэтому все c_n+1j = 0.

Тогда модель примет вид:

или

(7)

Итак, если в транспортной модели допускается дефицит, то она всегда будет разрешима после преобразования открытой модели в закрытую.

Чтобы преобразовать задачу о холодильных установках в закрытую, необходимо ввести дополнительный (третий) центр сбыта, потребность которого в холодильных установках будет равняться 10 (b₃ = 250 - 240 = 10). Одновременно в модель будут введены три новые переменные: x₁₃, х₂₃ и х₃₃ – число установок, не вывезенных соответственно из Стокгольма, Триеста и Руана. В целевую функцию они не войдут (войдут с нулевыми коэффициентами с₁₃ = с₂₃ = с₃₃ = 0) – в самом деле, если установки остаются в центрах производства, затраты на их перевозку не осуществляются. Тогда задача примет вид:

min (25x₁₁ + 14x₁₂ + 18x₂₁ + 8x₂₂ + 12x₃₁ + 6x₃₂)

x ₁₁ + x₁₂ + x₁₃ = 120

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ = 40

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ = 90

x₁₁ + x₂₁+ x₃₁ = 150

x₁₂ + x₂₂+ x₃₂ = 90

x₁₃ + х₂₃ + х₃₃ = 10