3.1. 3Адачи

Доказать, что следующие системы векторов из R_n образуют линейные подпространства и найти их размерность и базис:

1. Все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координата равны между собой.

2. Все n-мерные векторы, у которых координаты с четными номерами равны нулю.

3.  Все n-мерные векторы вида , где  и  — любые числа.

4. Показать, что всякое линейное пространство есть линейная оболочка любого своего базиса.

5. Показать, что решение системы линейных однородных уравне­ний с n неизвестными ранга K образуют подпространство R_n размерности .

6. Доказать, что если размерность суммы двух линейных подпространств пространства R_n на единицу больше размерности их пересечения, то сумма совпадает с одним из этих подпространств, а пересечение с другим.

7. Доказать, что пространство R_n есть прямая сумма двух линейных подпространств: L₁ — заданного уравнением и L₂, заданного системой уравнений .

8. Найти размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующую систему векторов, заданных своими координатами

, , , ,

9. Найти систему линейных уравнений, задающую линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов:

, , ,

Найти размерности суммы и пересечения линейных подпространств: L₁, натянутого на векторы и L₂, натянутого на векторы

10.

, , ,

11. 

, , , , ,

Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств, натянутых на системы векторов и

12. 

, , , , ,

13. 

, , , , ,

14. Линейным многообразием называется совокупность векторов пространства R_n, координаты которых удовлетворяют системе линейных уравнений

Показать, что если к каждому вектору подпространства L пространства X прибавить фиксированный вектор, то получится линейное многообразие.

4. Точечно-векторное аффинное пространство

Определение. Пусть некоторое множество состоит из элементов двух типов, которые будем называть «точками» и «векторами». Пусть при этом множество векторов образует n-мерное линейное пространство, а множество точек не пусто.

Множество называется точечно-векторным аффинным пространством, если:

1. Каждая пара точек А₁ и A₂, заданных в определенном порядке, определяет единственный вектор .

2. Для каждой точки А₁, и каждого вектора существует единственная точка A₂, такая, что .

3. Если и , то .

Пространство называется n-мерным, если n-мерно соответствующее линейное пространство.

Пример. Данному определению удовлетворяет, очевидно, обыч­ное геометрическое пространство, в котором векторы вводятся как упорядоченные пары точек. Вторая аксиома соответствует возможности отложить любой вектор из произвольной точки, а третья аксиома со­ответствует определению сложения векторов.

4.1. Система координат в пространстве

Если в пространстве V_n зафиксировать некоторую точку O, то в силу свойств 1 и 2 между всеми остальными точками и векторами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Вектор назы­вается радиус-вектором точки А относительно точки O.

Определение. Системой координат в пространстве V_n, называется совокупность фиксированной точки O и некоторого базиса в V_n.

Координатами вектора в заданной сис­теме координат пространства V_n называются координаты вектора относительно базиса .

Координатами точки А в данной системе ко- ординат пространства V_n называются координаты радиус-вектора точки относительно базиса.

Всякие два базиса пространства V_n и связаны между собой формулами перехода

где вектор-столбцы матриц перехода и состоят из координат векторов и соответственно в базисах и .

Если даны две системы координат O, и , , то координаты любой точки и относительно этих систем координат связаны соотношениями

,

где – координаты точки в – матрица перехода.