2.1. Задачи
1.
Доказать, что если система векторов
содержит нулевой вектор, то совокупность
векторов линейно зависима.
2. Доказать, что если часть из векторов линейно зависима, то и вся эта совокупность векторов линейно зависима.
Векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы сами образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе:
3.
,
,
,
4.
,
,
,
5.
,
,
,
,
6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом, и найти связь координат одного и того же вектора в этих двух базисах.
,
,
,
,
,
,
7. Доказать
линейную независимость системы функций
,
где
– попарно различные действительные
числа.
8. Определить размерность линейного пространства квадратных матриц n-го порядка.
9. Как изменится матрица перехода от одного базиса к другому, если:
а) поменять местами два вектора первого базиса;
б) поменять местами два вектора второго базиса;
в) записать векторы обоих базисов в обратном порядке?
3. Подпространства линейного пространства
Определение. Всякое подмножество L линейного пространства X, заданного над полем K, которое, в свою очередь, является линейным пространством, называется линейным подпространством.
Для того, чтобы подмножество L линейного пространства X являлось линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
1.
2.
и
Примеры
1. Рассмотрим векторы пространства Rn, координаты которых удовлетворяют уравнению
,
Покажем, что они образуют
линейное подпространство в Rn.
Пусть
.
Тогда
и для
координат векторов
и
выполняются условия 1 и 2:
2.
Рассмотрим подмножество симметричных
матриц линейного пространства
квадратных матриц n-го
порядка. Покажем, что они образуют
линейное подпространство. Пусть
и
симметричные
матрицы. Матрицы
и
будут,
очевидно, также симметричными, и,
следовательно, данное подмножество
является линейным подпространством.
Основные свойства линейных подпространств вытекают из следующих утверждений:
Размерность всякого линейного подпространства L пространства X не превосходит размерности самого пространства.
Если в
подпространстве L
пространства
X
задан базис
,
то его можно всегда
дополнить
векторами
из
X
так, что система
образует базис пространства X.
Координаты
всякого вектора
k-мерному
подпространству n-мерного
пространства X
в любом базисе удовлетворяют некоторой
системе линейных однородных уравнений
ранга n-k.
Определение. Пусть M – подмножество векторов пространства X. Совокупность всех линейных комбинаций векторов из М называется линейной оболочной L(M) векторов М.
Всякая линейная оболочка является линейным подпространством. Размерность линейной оболочки L(M), натянутой на векторы множества M, равна числу линейно независимых векторов данного множества.
Определение.
Суммой
L
двух подпространств L1
и L2
одного
и того же пространства X
называется множество векторов вида
,
где
и
.
Обозначается
.
Сумма линейных подпространств сама является линейным подпространством.
Определение.
Пересечением
L
линейных подпространств
L1
и L2
называется совокупность векторов,
принадлежащих одновременно
L1
и L2.
Обозначается
.
Пересечение линейных подпространств также является линейным подпространством.
Определение.
Прямой суммой L
двух подпространств L1
и L2
называется
сумма этих подпространств при условии,
что их пересечение
состоит лишь из нулевого вектора.
Обозначается
.
Размерности суммы и пересечения подпространств L1 и L2 связаны между собой следующим соотношением
Примеры
1. Определим размерность и базис линейного подпространства, натянутого на следующие векторы, заданные своими координатами
,
,
,
,
Для определения размерности линейной оболочки нужно определить число линейно независимых векторов в исходной системе. Воспользуемся тем, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда линейно независимы вектор-столбцы из их координат. Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг
Ранг
матрицы равен трем. Следовательно,
.
Базис образуют, например, следующие
линейно независимые векторы
.
2. Найдем
систему линейных уравнений, которая
задает линейное подпространство,
натянутое на следующую систему векторов,
заданных своими координатами в некотором
базисе
,
,
Для
решения задачи удобно найти сначала
базис в
.
Аналогично предыдущей задаче убеждаемся,
что базис образуют векторы
и
,
например. Некоторыми векторами
и
достроим базис
и
до базиса всего пространства
.
В новом базисе любой вектор
из L
будет иметь координаты, удовлетворяющие
системе уравнений
Остается перейти
теперь к системе уравнений относительно
старых координат
вектора
относительно базиса
.
Они будут связаны с новыми координатами
формулами перехода
,
,
где
– матрица перехода от
к базису
.
Подставляя координаты векторов
и
,
получим
Исключая
и
,
окончательно получаем
3. Найти размерности и базисы суммы и пересечения линейных подпространств L1 и L2, натянутых на векторы, заданные своими координатами:
,
,
,
,
Нетрудно убедиться, что векторы
,
– базис в L1, а векторы
,
– базис в L2.
Поэтому всякий вектор из L1
,
а всякий вектор из L2
.
Если
,
то
.
Таким образом,
это линейная оболочка векторов
.
Аналогично первой задаче
устанавливаем, что
,
а базис, например,
.
Пусть
.
Тогда
Остается найти базисный вектор в М.
Пусть
,
тогда
и
.
Значит, существуют такие числа
и
,
что
Получаем для значений и , которые определяют общие для L1 и L2 векторы, систему уравнений, которая в координатной форме имеет вид
Решая эту систему,
получим
,
,
,
где
- произвольно. Поэтому всякий вектор
из М
имеет вид
Вектор
можно принять за базис в
.