40. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Устойчивость по первому приближению.

Определение функции Ляпунова

Определение. Решение , системы (1,1) определённое на и удовлетворяющее начальным условиям , , называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое, что любое решение , , системы (1), начальные данные которого удовлетворяют условиям

, (3.1) определено на и выполняются неравенства , (3.2)

для всех . Если кроме выполнения неравенств (3.2) при условии (3.1) выполняется также условие

, , (3.3), то решение , называется асимптотически устойчивым.

Если при сколь угодно малом хотя бы для одного решения неравенства (3.2) не выполняются, то решение , называется неустойчивым.

Отметим, что из выполнения условий (3.3) не следует устойчивость по Ляпунову.Решение , системы (1.1), отвечающее начальным условиям , , называют невозмущённым, а решения , этой же системы при любых других начальных условиях , называют возмущёнными.

Геометрически устойчивость по Ляпунову решения , уравнения , удовлетворяющего начальному условию , означает, что сколь угодно узкая -трубка решения , содержит все решения , уравнения, которые при отличаются от не более чем на (рис. 3.1). Асимптотическая устойчивость решения , уравнения означает не только близость к нему всех решений , уравнения, вытекающая из близости их к при , но и неограниченное сближение их с при . На рис. 3.2 показана асимптотическая устойчивость решения дифференциального уравнения. Исследование устойчивости решения , системы (1.1) может быть сведено к исследованию устойчивости нулевого решения. В системе (1.1) введём новые неизвестные функции , . Очевидно, функции , удовлетворяют системе уравнений , (3.4), где , , . Устойчивость по Ляпунову (или асимптотическая устойчивость) решения , системы (1.1) равносильна устойчивости по Ляпунову (или асимптотической устойчивости) решения , системы уравнений (3.4)

Пример. Исследуем устойчивость решение задачи Коши , ( - постоянная), .

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид ( - произвольная постоянная) и определено для всех . Решение данной задачи Коши есть . (3.5). При решение (3.5) устойчиво по Ляпунову. При всех для любого и если , то . При , т.е. решение (3.5) устойчиво асимптотически. При если , т.е. решение (3.5) устойчиво по Ляпунову, но не асимптотически устойчиво. При и и, следовательно, решение (3.5) неустойчиво.

Исследование на устойчивость по первому приближению

Определение. Решение системы (1.1) вида , , где ­ постоянные, называется положением равновесия (или точкой покоя) системы.

Очевидно, что , - положение равновесия системы (1.1) тогда и только тогда, когда , .

Теорема (теорема Ляпунова). Пусть , - положение равновесия системы дифференциальных уравнений , , (5.1) функции правой части которой удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности а функции при удовлетворяют условиям , , , (5.2)

где при , . Тогда если решение , системы (5.3)

устойчиво асимптотически или не устойчиво, то решение , системы (5.1) также устойчиво асимптотически или не устойчиво.

Определение. Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (5.3) называется системой первого приближения для системы (5.1).

Систему (5.3) так же называют линеаризацией системы (5.1).

Замечание. Случаи, когда матрица системы (5.1) не имеет собственных значений с положительной действительной частью, но имеет по крайней мере одно собственное значение с нулевой действительной частью называются критическими. В критических случаях устойчивость или неустойчивость системы (5.1) зависит от вида нелинейных членов системы.

Пусть , - положение равновесия нормальной системы дифференциальных уравнений (1.1), функции , и их частные производные непрерывны в некоторой окрестности положения равновесия и эти производные являются постоянными при , , т.е. , , .

Для исследования устойчивости этого положения равновесия сделаем в (1.1) преобразование , . Тогда получим систему , (5.4) с положением равновесия , ( , ). В некоторой окрестности положения равновесия , можем записать для , формулу Тейлора

, (5.5)

где функции , , удовлетворяют условию (5.2). С учётом (5.5) и равенств , , систему (5.4) можно записать в виде , . (5.6)

Пример. Исследуем устойчивость положений равновесия системы , .

Из уравнений , находим одно положение равновесия , данной системы. Исследуем его устойчивость. Поскольку , и при , , то можно воспользоваться теоремой Ляпунова. Система первого приближения соответствующая положению равновесия имеет вид , . Собственные значения матрицы этой системы равны . Имеем критический случай (действительные части собственных значений матрицы системы равны нулю), в этом случае, нелинейные члены системы могут влиять на устойчивость положения равновесия.