2.4.1 Методика аналізу лінійних систем методом простору станів

1. Визначимо передаточну функцію замкненої системи:

.

2. Запишемо скалярне диференціальне рівняння системи:

.

3. Складемо рівняння стану системи (2.11):

.

4. Визначимо перехідну матрицю системи:

.

5. Обчислимо вектор стану системи (2.13):

.

6. Знайдемо вихідний сигнал системи (2.12):

.

2. Приклад аналізу лінійної системи методом простору станів

Визначити вихідний сигнал замкненої системи, структурна схема якої показана на рис.2.2, при одиничному ступінчастому вхідному впливі.

Рис.2.2

1. Визначимо передаточну функцію замкненої системи:

.

2. Запишемо скалярне диференціальне рівняння системи:

.

3. Складемо рівняння стану системи:

,

де

.

4. Визначимо перехідну матрицю системи:

;

.

5. За нульових початкових умов і одиничному вхідному впливі змінну стану визначимо з виразу

.

6. Знайдемо вихідний сигнал системи:

,

де

.

4. Аналіз лінійних систем при випадкових впливах в перехідному режимі

Нехай вхідний вплив є випадковим процесом. Оскільки математичне очікування і описуються детермінованими функціями, для визначення по заданому повністю застосовні методи, викладені вище. Тому далі без втрати спільності вважатимемо , .

Вирішення стохастичного диференційного рівняння (2.10) шукатимемо у вигляді

,

де - частне рішення неоднорідного диференційного рівняння (вимушений рух системи) ;

- загальне рішення однорідного диференціального рівняння (вільний рух системи).

Відповідно до вибраної форми представлення рішення кореляційна функція процесу

де , - кореляційні функції процесів відповідно і ;

, - взаємні кореляційні функції процесів.

За нульових початкових умов вираз для зпрощується.

Поклавши , отримаємо співвідношення для дисперсії процессу у перехідному режимі:

,

а за нульових початкових умов

Якщо відома імпульсна характеристика системи , то кореляційна функція [5;6]:

,

де - кореляційна функція вхідного процесу, а дисперсія

.

Для стаціонарного білого шуму з кореляційною функцією вираз для дисперсії спрощується:

. (2.14)

Методика визначення , викладена в [1;2] .

2.5.1 Приклад аналізу лінійних систем при випадкових впливах в перехідному режимі

Знайдемо дисперсію помилки в перехідному режимі для системи, структурна схема якої показана на рис 2.1, де , .

1. Визначимо передаточну функцію по помилці для дії :

.

2. Знайдемо імпульсну характеристику по помилці для процесу :

.

3. Визначимо дисперсію помилки:

.

При знайдемо значення дисперсії в сталому режимі :

.