809.5. Порядок выполнения работы Упражнение 1. Изучение дифракции от щели

1. Установить на пути лазерного луча держатель с раздвижной щелью. Ширина щели может быть изменена с помощью микрометрического винта. Получить на экране четкую дифракционную картину в виде центрального наиболее яркого максимума и системы симметричных относительно него максимумов. Выяснить, как меняется дифракционная картина при изменении ширины щели, результат записать в отчет.

2. Измерить расстояние L от щели до экрана. Определить расстояния l_k от центрального максимума до середины 1, 2 и 3-го максимумов. Повторить измерения, изменив расстояние L. Записать значения L и l_k в таблицу.

3. Рассчитать ширину щели по формуле

, полученной из (809.2) с учетом выражения (809.1).

4. По результатам наблюдений сделать выводы.

Упражнение 2. Изучение дифракции от нити

1. Установить на пути лазерного пучка держатель с нитью и получить четкую дифракционную картину.

2. Измерить параметры дифракционной картины и определить толщину нити (так же, как в упражнении 1). Данные измерения и расчетов занести в таблицу.

Упражнение 3. Изучение дифракции на одномерной решетке и определения длины волны излучения лазера

1. Установить между лазером и экраном дифракционную решетку с известной постоянной. Включить лазер и получить на экране дифракционную картину. Выяснить, как изменяется дифракционная картина при повороте решетки вокруг вертикальной оси. Результат наблюдений записать в отчет.

2. Установить плоскость решетки нормально к лучу лазера. Измерить расстояние от решетки да экрана L, а также расстояние l_k между центральным максимумом и максимумами 1, 2 и 3-го порядков в отдельности, которые расположены по обе стороны от центрального. Результаты занести в таблицу.

3. Определить длину волны излучения лазера по формуле , полученной из формулы (809.3) с учетом выражения (809.1).

4. По результатам наблюдения сделать выводы.

Контрольные вопросы

1. Что называется дифракцией света?

2. В чем заключается принцип Гюйгенса  Френеля?

3. В чем заключается метод зон Френеля?

4. Как изменится дифракционная картина, если поворачивать дифракционную решетку относительно вертикальной оси или увеличивать число ее штрихов?

5. Как изменяется дифракционная картина от щели при изменении ширины щели?

6. Чем отличаются дифракционные картины белого и монохроматического света?

810. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА

дифракции электронов

810.1. Цель работы

Изучение волновых свойств и особенностей движения микрочастиц.

810.2. Разделы теории

Элементы квантовой механики. Гипотеза де Бройля. Корпускулярно-волновой дуализм. Принцип неопределенности Гейзенберга. [3. Гл.27, §213  §215]; [4. Гл. 4, §18  §20].

810.3. Приборы и принадлежности

Персональный компьютер. Работа выполняется методом численного моделирования.

810.4. Теоретическое введение

Люди давно задумались, из чего состоят все тела. Демокрит ( 300 г. до н.э.) писал в книге "Малый диакосмос": "Начало Вселенной  атомы и пустота, все же остальное существует лишь во мнении. Миров бесчисленное множество, и они имеют начало и конец во времени. И ничто не возникает из небытия, не разрешается в небытие. И атомы бесчисленны по величине и по множеству, носятся же они во Вселенной, кружась в вихре, и таким образом рождается все сложное: огонь, вода, воздух, земля. Дело в том, что последние суть соединения некоторых атомов. Атомы же не поддаются никакому воздействию и неизменяемы вследствие твердости".

Аристотель (384-322 гг. до н.э.) считал, что яблоко можно делить до бесконечности (а значит, нет предела бесконечно малым частицам).

Ньютон также рассуждал о частицах, из которых устроен Мир: "Мне кажется, что Бог вначале создал материю в виде сплошных, массивных, твердых, непроницаемых, движущихся частиц таких размеров и форм и с такими другими свойствами, и в таких пропорциях к пространству, которые наилучшим образом служат той цели, для которой Он их создал, и что эти простейшие частицы, будучи твердыми, несравненно прочнее, чем любые другие тела, составленные из них; даже настолько прочны, что никогда не изнашиваются и не разбиваются на куски; никакие обычные силы не в состоянии разделить то, что Бог создал сам в первый день творенья!.."

Cегодня мы понимаем, что многие явления связаны с процессами, протекающими в атомах, иными словами, мы вторгаемся в явления микромира. Но в микромире законы обычной механики уже "не работают", нужно было разработать новый подход.

Как известно из школьного курса, свет  волна. Но в 1900 году Планк постулировал, что лучистая энергия (энергия света) переносится отдельными порциями  "квантами", т.е. энергия кванта E=hν.

"Световая частица"  фотон.

Корпускулярно-волновой дуализм  лежащее в основе квантовой механики положение о том, что в поведении микрообъектов проявляются как корпускулярные, так и волновые черты. В классической (не квантовой) физике движение частиц и распространение волн  принципиально различные виды движения. Однако опыты по вырыванию светом электронов с поверхности металлов (фотоэффект), изучение рассеяния света на электронах (эффект Комптона) и ряд других экспериментов убедительно показали, что свет  объект, имеющий, согласно классической теории, волновую природу,  ведёт себя подобно потоку частиц.

Таким образом, характерной особенностью микромира, является своеобразная двойственность, дуализм корпускулярных и волновых свойств, который не может быть понят в рамках классической физики. Так, возникновение дифракционной картины при рассеянии частиц несовместимо с представлением о движении их по траекториям. С другой стороны, оказалось, что пучок электронов, падающих на кристалл, даёт дифракционную картину, которую нельзя понять иначе, как на основе волновых представлений.

Результаты опыта по дифракции электронов на двух щелях (Йенсен, 1961 г.). Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает на диафрагму с двумя щелями (см. рис.810.1). В силу того, что электроны обладают волновыми свойствами, на экране, расположенном за диафрагмой, возникает интерференционная картина, состоящая из чередующихся максимумов и минимумов (кривая А).

Рассмотрим случай, когда открыта только щель 1, а щель 2 закрыта. Тогда распределение электронов на экране определяется вкладом только от одной щели (кривая 1'). Аналогично, если открыта щель 2, а щель 1 закрыта, получаем распределение, описываемое кривой 2'.

Рис. 810.1

Если бы каждый электрон проходил через вполне определенную щель (1 или 2), то распределение электронов на экране в случае, когда открыты обе щели, описывалось бы кривой В, которая является суммой кривых 1' и 2' и показана на рисунке пунктирной линией.

Кардинальное отличие кривой В от наблюдаемой на эксперименте интерференционной картины позволяет сделать заключение, что электрон при движении через диафрагму как бы "видит" обе щели.

Только участием обеих щелей в прохождении электрона через диафрагму может быть объяснена возникающая на экране интерференционная картина. Любая попытка определить, через какую щель прошел электрон, неизбежно приводит к нарушению интерференции.

Таким образом, мы приходим к выводу, что указать, через какую щель прошел электрон, не нарушая интерференционную картину, невозможно. Отсюда следует, что электрону, как и любой другой микрочастице, нельзя приписать определенную траекторию движения.

Наличие у микрочастицы волновых свойств означает, как мы видим, отказ от одного из важнейших понятий классической механики  понятия траектории частицы. Согласно классическим представлениям частица, двигаясь по траектории, в каждый момент времени находится в определенной точке пространства и, следовательно, не может в этот же момент времени находиться в других точках. Согласно квантовым представлениям микрочастица в силу своих волновых свойств может быть обнаружена в один и тот же момент времени в разных точках пространства. Таким образом, для описания движения микрочастиц понятие траектории оказывается, вообще говоря, неприменимым.

Луи де-Бройль (1892-1987) предложил постулат: корпускулярно-волновой дуализм присущ всем частицам. Для релятивисткой частицы: импульс p = mv = mc и энергия E = mc². Учитывая E = hν и ν = c/λ, получим: mc² = hν или mc = hν/c. Получаем формулу де-Бройля:λ = h/p.

Для микрообъектов нельзя говорить об одновременном определении координат и импульса.

Гейзенберг в 1927г. сформулировал принцип неопределенности: частица не может иметь одновременно определенную координату х и определенный импульс р, а неопределенность координаты и импульса связаны соотношением неопределенностей (Гейзенберга):

(Δх)(Δр) ≥ h.

Принцип неопределенности говорит о том, что не следует пытаться вычислить точную траекторию электрона вокруг ядра. Можно лишь указать вероятность нахождения электрона в том или ином участке пространства около ядра в любой момент времени. Эта вероятность поддается вычислению с помощью математических методов.

В 1927 г. Н. Бор сформулировал принцип дополнительности, согласно которому получение экспериментальной информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах, дополняющих первые.

Например, исследуя движение электрона с помощью микроскопа (если бы такое было возможно), мы бы наблюдали отраженные от электрона волны света, энергия которых по величине сопоставима с энергией самих исследуемых частиц. Поэтому при выполнении измерений нами неизбежно вносились бы изменения в состояние электрона (местоположение, скорость, направление движения и т.д.). Значит, на основании наших измерений бессмысленно говорить о точном местоположении электрона в каждый момент времени.

План нашего дальнейшего изложения будет следующим: 1) исходя из предположения о том, что с каждой частицей связана волна, получим выражение, связывающее волновые и корпускулярные характеристики частицы; 2) проверим, удовлетворяет ли полученное выражение требованиям специальной теории относительности.

Последуем за де Бройлем и предположим, что с каждой движущейся частицей связана волна. Пусть внешние силы отсутствуют и частица движется равномерно и прямолинейно. Энергия частицы Е, импульс , масса m.

По аналогии с движением фотона волна должна распространяться в том же направлении, в котором движется частица. Представим волну в виде

, (810.1)

где А  амплитуда волны,  волновой вектор, ω  частота. Как параметры волны и ω могут быть связаны с параметрами движущейся частицы р, m, Е? По-видимому, следует обратить внимание на скорости распространения волны и частицы. Они должны быть равными, так как в конечном счете речь идет о перемещении в пространстве одного физического объекта, обладающего свойствами и волны, и частицы. Однако известно, что распространение волны можно охарактеризовать групповой и фазовой скоростями. Какая из них должна быть равна скорости частицы?

Фазовая скорость волны есть скорость перемещения плоскости равной фазы

.

Однако частице должна соответствовать волна конечной протяженности, так как частица не может находиться одновременно во всем пространстве. Плоская волна (810.1) этому условию не удовлетворяет. Чтобы удовлетворить этому условию, следует воспользоваться суперпозицией волн с близкими волновыми векторами. Такая суперпозиция волн называется волновым пакетом. Амплитуда волнового пакета велика в ограниченной области пространства, за пределами которой она быстро спадает. Точка, в которой амплитуда волнового пакета максимальна, движется со скоростью

, (810.2)

которая называется групповой скоростью волны. Именно эта скорость, а не фазовая должна быть отождествлена со скоростью частицы.

Мы допустили, что для частиц справедлива формула , как и для фотонов. Тогда

. (810.3)

Формулу (810.2) можно переписать так:

. (810.4)

Пользуясь выражениями (810.3) и (810.4), установим связь между величинами и . Зная это соотношение, легко будет определить и связь между и скоростью :

,

.

Откуда

Проинтегрируем последнее выражение, предполагая, что при =0 волновой вектор k также равен 0:

,

откуда

. (810.5)

В правой части формулы (810.5) стоит выражение для релятивистского импульса, следовательно, получена искомая связь между импульсом и волновым вектором:

. (810.6)

Именно это выражение и было получено де Бройлем.

Осталось проверить, удовлетворяют ли полученное выражение (810.6) и предположение (810.3) требованиям специальной теории относительности. Для этого рассмотрим две системы координат  "не штрихованную" К и "штрихованную" . Система К является лабораторной, а система движется относительно К. В системе волна, описываемая в системе К выражением (810.I), будет иметь вид

.

Допустим, что система движется вместе с нашей частицей, т.е. является для нее системой покоя. В этом случае k' = 0, р' = 0 и Е' = mc². Тогда, так как Е' = ω', ω' = mc²/ .

Согласно постулату Эйнштейна все физические процессы должны протекать одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Плоская волна должна оставаться периодичной во всех инерциальных системах отсчета. Волна периодична, откуда следует, что если разность фаз между двумя пространственно-временными точками Р и Q в системе отсчета К равна 2πn, где n  целое число, то в системе отсчета разность фаз той же волны между соответствующими точками Р и Q должна оставаться равной 2πm (m  целое число). Иначе нарушится периодичность волны. Отсюда

.

Учитывая, что  система покоя, получаем

. (810.7)

Воспользуемся преобразованиями Лоренца для времени

,

где β = /с (  скорость движения частицы в системе отсчета К) и преобразуем (810.7):

.

Из последней формулы видно, что

, . (810.8)

Энергию и импульс частицы в системе К можно выразить так:

; . (810.9)

Сравнивая выражения (810.8) и (810.9), получаем

, .

Таким образом, сделанные нами предположения о характере зависимости E(ω) и не противоречат специальной теории относительности.

Итак, сформулируем гипотезу де Бройля: с движущейся частицей связана волна, характеризуемая волновым вектором , который определяется импульсом частицы р =  k. Следовательно, длина волны, связанной с частицей, равна

. (810.10)

Если Е  полная энергия частицы, то

. (810.11)

Если Т  кинетическая энергия частицы, то Е = Т + mc², где m  масса покоя электрона.

Подставляя полную энергию частицы в (810.11), получим

.

При малых скоростях, т.е. когда << с, а << 1, можно считать, что

,

что совпадает с формулой (810.10) в нерелятивистском пределе.

Экспериментальная проверка гипотезы де Бройля состоит в прямом наблюдении волновых свойств электронов. Впервые она была осуществлена К. Дэвиссоном и Л. Джермером в 1927 г. (В 1937 г. ученым была присуждена Нобелевская премия по физике.) Они наблюдали дифракцию электронов при их отражении от поверхности кристалла. В 1949г. советские физики Л.М. Биберман, Н.Г. Сушкин и В.А. Фабрикант осуществили опыт, в котором интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через прибор заведомо по одному. Время пролета электрона через прибор было примерно в 1000 раз меньше среднего времени, проходящего до появления следующего электрона. Была получена дифракционная картина, аналогичная той, которую получили Дэвиссон и Джермер. Таким образом, было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.