Задача № 3

Для проверки рабочих гипотез (№1 и №2) о связи социально-экономических показателей в регионе используется статистическая информация за 2006 год по территориям Центрального федерального округа.

Y₁ - Среднегодовая стоимость основных фондов в экономике, млрд. руб.;

Y₂ – Стоимость валового регионального продукта, млрд. руб.;

X₁ - Инвестиции прошлого, 2005, года в основной капитал, млрд. руб.;

X₂ – Кредиты прошлого, 2005, года, предоставленные предприятиям, организациям, банкам и физическим лицам, млрд. руб.

X₃ – Среднегодовая численность занятых в экономике, млн. чел.

Рабочие гипотезы:

Предварительный анализ исходных данных по 18 территориям выявил наличие трёх территорий (г. Москва, Московская обл., Воронежская обл.) с аномальными значениями признаков. Эти единицы должны быть исключены из дальнейшего анализа.

При обработке исходных данных получены следующие значения линейных коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений - σ:

n = 15.

Для проверки рабочей гипотезы №1. Для проверки рабочей гипотезы №2.

	Y1	X1	X2		Y2		X3
Y1	1	0,6631	0,7477	Y2	1	0,7863	0,7337
X1	0,6631	1	0,4747		0,7863	1	0,6177
X2	0,7477	0,4747	1	X3	0,7337	0,6177	1
Средняя	115,83	0,1615	3,75	Средняя	23,77	115,83	0,570
	30,0303	0,1400	1,6836		7,2743	30,0303	0,1160

Задание:

1. Составьте систему уравнений в соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами.

2. Определите вид уравнений и системы.

3. На основе приведённых в условии значений матриц коэффициентов парной корреляции, средних и средних квадратических отклонений:

• определите бета коэффициенты () и постройте уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе;

• дайте сравнительную оценку силы влияния факторов на результат;

• рассчитайте параметры a₁, a₂ и a₀ уравнений множественной регрессии в естественной форме;

• с помощью коэффициентов парной корреляции и -коэффициентов рассчитайте для каждого уравнения линейный коэффициент множественной корреляции (R) и детерминации (R²);

• оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надёжность выявленных связей.

4. Выводы оформите краткой аналитической запиской.

Решение:

1. В соответствии с выдвинутыми рабочими гипотезами о связи признаков составим систему уравнений:

2. Особенность данной системы в том, что в первом уравнении факторы представлены перечнем традиционных экзогенных переменных, значения которых формируются вне данной системы уравнений. Во втором уравнении в состав факторов входит эндогенная переменная Y₁, значения которой формируются в условиях данной системы, а именно, в предыдущем уравнении. Системы уравнений, в которых переменные первоначально формируются как результаты, а в дальнейшем выступают в качестве факторов, называются рекурсивными. Именно с подобной системой уравнений имеем дело в данной задаче.

3. Выполним расчёт -коэффициентов и построим уравнения множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Для уравнения №1:

По полученным результатам построим уравнение в стандартизованном виде:

Это означает, что инвестиции прошлого года в основной капитал ( ) влияют на стоимость основных фондов в экономике ( ) слабее, чем кредиты прошлого года ( ).

Второе уравнение можно построить на основе следующих результатов:

Второе уравнение в стандартизованной форме имеет вид:

.

Из второго уравнения, видно, что на уровень ВРП более сильное влияние оказывает стоимость основных фондов, и менее сильное – среднегодовая численность занятых в экономике.

Рассчитаем параметры уравнения регрессии в естественной форме:

= 115,83 – 85,3*0,16 – 9,97*3,75 = 64,67.

По полученным результатам построим уравнение №1 в естественной форме:

.

Параметры уравнения №2 рассчитываются аналогичным образом. Но главная отличительная особенность их расчёта в том, что в качестве одного из факторов выступают не фактические значения , а его теоретические значения , полученные расчётным путём при подстановке в уравнение №1 фактических значений факторов и .

Указанным способом рассчитаны параметры рекурсивного уравнения:

; ;

.

По полученным результатам построено уравнение №2 в естественной форме:

.

Представим результаты построения уравнений в виде рекурсивной системы:

Значения коэффициентов регрессии каждого из уравнений могут быть использованы для анализа силы влияния каждого из факторов на результат. Но для сравнительной оценки силы влияния факторов необходимо использовать либо значения -коэффициентов, либо средних коэффициентов эластичности - , , и .

Для каждого из уравнений системы рассчитаем показатели корреляции и детерминации.

.

R² = 0,826² = 0,682

R² = 0,847² = 0,718

В первом уравнении факторы и объясняют 68,2% вариации стоимости основных фондов, а 31,8% его вариации определяется влиянием прочих факторов.

Во втором уравнении переменные и объясняют 71,8% изменений валового регионального продукта, а 28,2% изменений заработной платы зависят от прочих факторов.

Обе регрессионные модели выявляют тесную связь результата с переменными факторного комплекса.

Оценим существенность выявленных зависимостей. Для этого сформулируем нулевые гипотезы о статистической незначимости построенных моделей и выявленных ими зависимостей:

и .

Для проверки нулевых гипотез используется F-критерий Фишера. Выполняется расчёт его фактических значений, которые сравниваются с табличными значениями критерия:

;

Сравниваем с : для и =0,05 составляет 3,88.

В силу того, что нулевую гипотезу о статистической незначимости характеристик уравнений следует отклонить. Отклоняя нулевую гипотезу, допустимо (с определённой степенью условности) принять одну из альтернативных гипотез. В частности, может быть рассмотрена и принята гипотеза о том, что параметры моделей неслучайны, то есть формируются под воздействием представленных в моделях факторов, влияние которых на результат носит систематический, устойчивый характер. Это означает, что полученные результаты могут быть использованы в аналитической работе и в прогнозных расчётах среднемесячной заработной платы и стоимости валового регионального продукта, которые основаны не только на влиянии , но и на влиянии эндогенной переменной Рекурсивные модели связей предоставляют возможность подобного анализа и прогноза.