- •Содержание
- •Введение
- •1. Простейшие неравенства с аркфункциями
- •2. Неравенства, сводящиеся к простейшим неравенствам с аркфункциями
- •3. Неравенства с аркфункциями повышенной сложности
- •Применим синус к обеим частям данного нам неравенства
- •4. Задания для самостоятельного решения
- •Список рекомендованной литературы
1. Простейшие неравенства с аркфункциями
Решим простейшие неравенства с обратными тригонометрическими функциями ; ; ; .
Задание 1. .
Решение.
Такие неравенства очень удобно решать графически, что доступно и наглядно для учащихся (см. рис. 1). Строим графики функций и .
Е сли , то ни при каких . Значит, в этом случае неравенство решений не имеет.
Если - то в качестве решения получим промежуток .
Если , то для любых значений из области определения функции , то есть
Рис.1. .
Ответ. Если , то ;
если , то ;
если , то нет решений.
Следующие три неравенства решаются аналогично.
З адание 2. .
Решение.
График полностью иллюстрирует решение (см. рис. 2).
Ответ. Если то ;
если , то ;
если , то нет решений.
Рис.2
Задание 3. .
Р ешение.
Решение изображено на графике (см. рис. 3).
Ответ. Если , то нет решений неравенства;
если , то ;
если a> , то .
Рис.3
З адание 4. .
Решение.
Аналогично решается и это неравенство (см. рис. 4).
Ответ. Если , то нет решений;
если , то ;
если , то .
Рис.4
Простейшие неравенства вида можно решать аналогично, а можно свести к рассмотренным, если учесть известное нам тождество . Для закрепления материала полезно прорешать все простейшие неравенства с аркфункциями.
2. Неравенства, сводящиеся к простейшим неравенствам с аркфункциями
Рассмотрим примеры усложненных, но относящихся к простейшим, неравенств с аркфункциями.
Задание 5. .
Решение.
В ведем обозначение . Найдем область допустимых значений неравенства. Из определения арксинуса следует ограничение , , ; .
Известно, что областью значений функции будет отрезок , то есть на всей области определения (см. рис. 5).
Значит, решением данного неравенства является множество .
Рис.5
Ответ. .
Задание 6. .
Решение.
Первый способ. Решение аналитическое, без применения графика функции . Областью определения неравенства является отрезок . Пусть . Решим неравенство : , тогда . Возвращаемся к переменной :
.
Применяя функцию ко всем частям неравенства, имеем так как возрастает при . Получили неравенство (см. рис. 6).
С учетом ОДЗ: , имеем систему
Рис.6 Сравним и 1. Так как , то так как возрастает на промежутке , а значит и, аналогично, . Следовательно, .
Второй способ. .
Обе части данного неравенства положительны, значит можно извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства: , тогда имеем
Решим данное двойное неравенство графически (см. рис. 7).
Получим .
Ответ. .
З адание 7. .
Решение.
Первый способ: Так как обе части данного неравенства принимают значения из отрезка , а на нем функция возрастает, имеем
.
Решим это неравенство
Рис.7 методом интервалов
( см. рис. 8).
.
Рис.8 и .
С учетом области допустимых значений данного нам неравенства , имеем систему неравенств
(см. рис. 9)
Рис.9 и .
Второй способ. .
Пусть тогда .
Решим графически последнее неравенство (см. рис. 10).
, то есть .
Т ак как все части неравенства положительны, значит
.
Следовательно, имеем совокупность неравенств
Решением будет
и .
Рис.10 Ответ. .
Задание 8. .
Решение.
Первый способ. Обе части данного нам неравенства принимают значения из области , на которой функция возрастает, значит по монотонности
;
Решая, имеем , так как функция возрастающая.
Найдем ОДЗ данного нам неравенства.
; ; . То есть .
Итак, имеем систему неравенств
Откуда следует, что .
Ответ. .
Второй способ. .
Пусть , тогда . Проиллюстрируем решение последнего неравенства графически (см. рис 11).
; ; ;
Ответ. .
Задание 9. .
Решение.
Первый способ.
П рименим синус к обеим частям неравенства, так как возрастает на области , то имеем
; ; .
Так как возрастает на интервале , то , .
Найдем область допустимых значений данного нам неравенства. Из определения арксинуса, следует
;
Рис.11
и используя монотонность на интервале получим
Итак, имеем систему неравенств
Следовательно, .
Второй способ.
Пусть , тогда . Мы получили такое же неравенство, как и в задании 8 при решении вторым способом, а это значит, что (см. рис. 11)
Решим графически последнее неравенство (см. рис. 12).
Имеем, что
Третий способ. .
Воспользуемся монотонностью функции :
и областью определения .
Получим , , .
Рис.12
Ответ. .
Задание 10. .
Решение.
Первый способ. Обе части данного нам неравенства принимают значения из области а на этом отрезке функция синус возрастает, тогда применив синус
.
С учетом ОДЗ имеем систему неравенств:
тогда получаем систему
Р ешим неравенство (1) (см. рис 13).
; ; .
Рис.13
Решим неравенство (2) (см. рис 14).
; .
. Рис.14
И так, решая систему неравенств (1) и (2), имеем (см. рис 15).
.
Рис.15
Ответ. .
Второй способ. .
Решим неравенство графически. Строим графики , где и (см. рис. 16).
Получаем двойное неравенство: , то есть
, ,
ч то сводится к решенной выше системе неравенств
Ответ. .
Третий способ. .
Рис.16
С учетом области значений функции имеем неравенство
.
Используя монотонность функции на отрезке , имеем
.
И вновь получаем систему
Ответ. .
Задание 11. .
Решение.
Первый способ. Обе части неравенства принимают значения из области , на которой функция убывает, значит
; .
Найдем ОДЗ данного нам неравенства:
,
то есть, получаем систему неравенств
С учетом полученного выше неравенства, имеем систему неравенств:
Решим неравенство (1) из последней системы:
;
Р ешим это неравенство методом интервалов (см. рис 17).
Рис.17
Имеем (см. рис.17): .
Решим неравенство (2) .
;
Решим систему неравенств (1) и (2) (см. рис 18).
Рис. 18
и .
Ответ. .
Второй способ.
Р ешаем графически данное неравенство. Строим графики и , где (см. рис. 19).
то есть .
, откуда следует система неравенств (1) и (2) рассмотренная выше.
Рис. 19
Ответ. .
Задание 12. .
Решение.
Пусть , то . Решим неравенство
; . Следовательно,
(см. рис 20).
Рис.20
Ответ. .