МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НЕРАВЕНСТВА С АРКФУНКЦИЯМИ
Учебно-методическое пособие
Донецк 2011
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НЕРАВЕНСТВА С АРКФУНКЦИЯМИ
Учебно-методическое пособие
(для учителей и учащихся)
Утверждено к изданию
Ученым советом
математического факультета
Донецкого национального университета
Протокол № 104 от 29 мая 2011г.
Донецк ДонНУ 2011
УДК 512.13:514.116(076)
ББК В161.47я72
Неравенства с аркфункциями. Учебно-методическое пособие / Сост. А.И. Дзундза, Г.И. Лосева, В.А. Цапов – Донецк: ДонНУ. 2011. – 48 с.
Предназначено для учителей математики, руководителей кружков, факультативов, и учащихся, стремящихся расширить и углубить свои знания по математике. В пособии рассматриваются неравенства с аркфункциями. Дана подборка материала для самостоятельного решения.
Составители: А.И. Дзундза, д-р пед. наук, проф.
Г.И. Лосева, учитель математики
лицея г.Доброполье
В.А. Цапов канд. физ.-мат. наук, доцент.
Отв. за выпуск: Скафа Е.И. д-р пед. наук, проф.
© ДонНУ, 2011
© Дзундза А.И., 2011
© Лосева Г.И., 2011
© Цапов В.А., 2011
Содержание
Введение……………………………………………………….…………………...4
1. Простейшие неравенства с аркфункциями……………………………..….….6
2. Неравенства, сводящиеся к простейшим неравенствам с аркфункциями…..9
3. Неравенства с аркфункциями повышенной сложности……………………..21
4. Задания для самостоятельного решения……………………………………...44
Список рекомендованной литературы.………………………………………….47
Введение
При изучении тригонометрических функций решается много тригоно-метрических уравнений, неравенств, строятся графики, содержащие тригоно-метрические функции. Однако в школьном курсе практически не рас-сматривается тема аркфункций, то есть функций обратных тригонометри-ческим. В учебниках содержится определение основных аркфункций, их графики, но совсем мало изучаются их различные свойства.
Например, рассмотрим свойство, использующееся в данной работе,
.
Докажем
его. Пусть
,
тогда
,
где
По формулам приведения
при этом
,
.
Применяем определение обратной функции
и имеем
.
Откуда следует, что
А значит,
В школьном курсе мало или почти не решаются уравнения, а тем более неравенства с аркфункциями. Не уделяется внимание и разнообразным графикам, содержащим аркфункции.
На протяжении многих лет на вступительных экзаменах в вузы регулярно предлагались задачи, содержащие обратные тригонометрические функции. Интерес к этим задачам возрастал с каждым годом. Начиная с конца 60-х годов, они стали регулярно предлагаться на письменных экзаменах по математике в различных вузах. Встречались как задачи на преобразование выражений, так и уравнения, системы уравнений, а иногда и неравенства.
Всё возрастающая популярность таких задач далеко не случайна. Для их решения необходимо глубокое понимание свойств обратных тригонометрических функций, учёт их области определения и области значений. Такие задачи требуют глубокого понимания сути решения, свободного владения различными математическими методами и скрупулезного анализа.
Переход на новую форму оценивания знаний абитуриентов – “Зовнішнє незалежне тестування” (ЗНО) изменил вектор направленности в изучении математики. Вместо большого количества вариантов вступительных экзаменов на разные специальности и в различные Вузы на данном этапе для выпускников остался только один вариант ЗНО. При этом аркфункции в вариантах ЗНО встречаются очень редко, причем, в основном в задачах на преобразование выражений. Неравенства с этими функциями и раньше в школьном курсе были слабо представлены, а теперь для абитуриентов они становятся совсем не интересны.
С целью нивелирования этих тенденций мы предлагаем для учителей математических классов лицеев, колледжей и др., а также для руководителей кружков, факультативов, преподавателей школы юных математиков работу, в которой рассматриваются неравенства с аркфункциями. Практически все они рассчитаны на достаточный и высокий уровень знаний учащихся. Принцип расположения задач ‑ от простого к сложному. Дана подборка материала для самостоятельного решения.
Материал, изложенный ниже, является хорошим дополнением к курсу школьной тригонометрии. Его можно рассматривать на факультативах, спецкурсах. Данные задачи предлагаются учащимся в качестве творческих, исследовательских заданий и способствуют расширению кругозора.
Один из эвристических приемов обучения математике ‑ это обучение в процессе решения задач. Для большинства задач, представленных в пособии предложено два решения. Это позволяет более полно использовать свойства аркфункций и их графиков.
Перед каждым учителем не раз стоял вопрос: как создать атмосферу на факультативе, спецкурсе, такую, которая способствовала бы поиску оптимальных путей решения поставленных перед учащимся задач; лучше подготовила ученика к участию в олимпиадах разного уровня; способствовала развитию умственной активности ребенка; помогла ему стать конкурентоспособным.
Пособие рассчитано не только на учителей, стремящихся сделать свои уроки более интересными, но и на учащихся, которые получают удовольствие от общения с математикой.