36. В таблице приведены годовые удои коров холмогорской породы и удои коров – дочерей, рожденных от разных отцов. Дайте статистически обоснованную оценку племенных качеств этих быков.

    Удои коров-матерей, кг	Удои коров-дочерей, кг
    	отец 1	отец 2
    3039	4107	2750
    3224	3478	3890
    3444	3763	3568
    3441	3836	3891
    3629	3507	2695

37. Годовой удой и жирность молока 206 коров распределились следующим образом:

Удой (х1)	850 – 1049	1050 – 1249	1250 – 1449	1450 – 1649	1650 – 1849	1850 – 2049	2050 – 2250
Жирность молока (x2)	4,0	3,8	3,4	3,6	3,7	3,2	3,1
Частота (fi)	6	13	89	70	15	9	4

Определите, какой из этих признаков более изменчив и с какой точностью, определяются средние арифметические этих признаков.

Рубежный контроль

Цена одной задачи – 5 баллов

Оценка освоения материала студентами в зависимости от количества набранных баллов

Количество баллов	Оценка
Менее 55	Неудовлетворительно (2)
От 55 до 90	Удовлетворительно (3)
От 90 до 130	Хорошо (4)
Свыше 130	Отлично (5)

Модуль 3. Вычисление доверительных интервалов статистических параметров

Цель – познакомить студентов с алгоритмом вычисления доверительных интервалов статистических параметров.

При статистической обработке данных вычисленные средние, коэффициенты вариации, коэффициенты корреляции, критерии различия и другие показатели получают количественные границы доверия, которые обозначают возможные колебания показателя в меньшую и большую стороны в пределах доверительного интервала.

Пример 3.1. Распределение кальция в сыворотке крови обезьян, как было установлено ранее, характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%; = 0,127 мг%; n = 100. Требуется определить доверительный интервал для генеральной средней ( )при доверительной вероятности P = 0,95.

Генеральная средняя находится с определенной вероятность в интервале:

, где – средняя арифметическая; t – критерий Стьюдента; – ошибка средней арифметической.

По таблице «Значения критерия Стьюдента» находим значение при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы k = 100-1 = 99. Оно равно 1,982. Вместе со значениями среднего арифметического и статистической ошибки подставляем его в формулу:

или 11,69 12,19

Таким образом, с вероятностью 95%, можно утверждать, что генеральная средняя данного нормального распределения находится между 11,69 и 12,19 мг%.

Пример 3.2. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии ( ) распределения кальция в крови обезьян, если известно, что = 1,60, при n = 100.

Для решения задачи можно воспользоваться следующей формулой:

, где – статистическая ошибка дисперсии.

Находим ошибку выборочной дисперсии по формуле: . Она равна 0,11. Значение t- критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы k = 100–1 = 99 известно из предыдущего примера.

Воспользуемся формулой и получим:

или 1,38 1,82

Более точно доверительный интервал генеральной дисперсии можно построить с применением (хи-квадрат)-критерия Пирсона. Критические точки для этого критерия приводятся в специальной таблице. При использовании критерия для построения доверительного интервала применяют двусторонний уровень значимости. Для нижней границы уровень значимости рассчитывается по формуле , для верхнего – . Например, для доверительного уровня = 0,99 = 0,010, = 0,990. Соответственно по таблице распределения критических значений , при рассчитанных доверительных уровнях и числе степеней свободы k = 100 – 1= 99, найдем значения и . Получаем равно 135,80, а равно70,06.

Чтобы найти доверительные границы генеральной дисперсии с помощью воспользуемся формулами: для нижней границы , для верхней границы . Подставим данные задачи найденные значения в формулы: = 1,17; = 2,26. Таким образом, при доверительной вероятности P = 0,99 или 99% генеральная дисперсия будет лежать в интервале от 1,17 до 2,26 мг% включительно.

Пример 3.3. Среди 1000 семян пшеницы из поступившей на элеватор партии обнаружено 120 семян зараженных спорыньей. Необходимо определить вероятные границы генеральной доли зараженных семян в данной партии пшеницы.

Доверительные границы для генеральной доли при всех возможных ее значениях целесообразно определять по формуле:

,

Где n – число наблюдений; m – абсолютная численность одной из групп; t – нормированное отклонение.

Выборочная доля зараженных семян равна или 12%. При доверительной вероятности Р = 95% нормированное отклонение (t-критерий Стьюдента при k = ) t = 1,960.

Подставляем имеющиеся данные в формулу:

0,122± 0,041

Отсюда границы доверительного интервала равны = 0,122–0,041 = 0,081, или 8,1%; = 0,122 + 0,041 = 0,163, или 16,3%.

Таким образом, с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что генеральная доля зараженных семян находится между 8,1 и 16,3%.

Пример 3.4. Коэффициент вариации, характеризующий варьирование кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, оказался равным 10,6% или 0,106. Объем выборки n = 100/ Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для генерального параметра Cv.

Границы доверительного интервала для генерального коэффициента вариации Cv определяются по следующим формулам:

и , где K промежуточная величина, вычисляемая по формуле .

Зная, что при доверительной вероятности Р = 95% нормированное отклонение (критерий Стьюдента при k = ) t = 1,960, предварительно рассчитаем величину К:

.

или 9,3%

или 12,3%

Таким образом, генеральный коэффициент вариации с доверительной вероятностью 95% лежит в интервале от 9,3 до 12,3%. При повторных выборках коэффициент вариации не превысит 12,3% и не окажется ниже 9,3% в 95 случаях из 100.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое вероятность?

2. Какие вероятности считаются доверительными?

3. Дайте определение терминов «доверительные границы» и «доверительный интервал».

4. Каков доверительный интервал при нормальном распределении с вероятностью 0,95; 0,99?

5. Что такое уровень значимости? Какая связь между уровнем значимости и вероятностью? Можно ли выражать уровень значимости в процентах?

6. На что указывает процентная величина уровня значимости?

7. В каких пределах по отношению к выборочной совокупности может находиться средняя арифметическая генеральной совокупности? С какой вероятностью?

8. Изменяются ли доверительные границы и доверительный интервал для μ при разных величинах n? Когда надо пользоваться t – распределением Стьюдента?

Задачи для самостоятельного решения.

1. Средний процент жира в молоке за лактацию коров холмогорских помесей был следующим: 3,4; 3,6; 3,2; 3,1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4,1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3,8. Определите , σ и ошибку средней. Установите доверительные интервалы для при вероятности 0,95.

2. На 400 растениях гибридной ржи первые цветки появились в среднем на 70,5 дня после посева. Среднее квадратическое отклонение было 6,9 дня. Определите среднюю ошибку для и доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при W = 0,05 и W = 0,01.

3. При изучении длины листьев садовой земляники были получены = 7,86 см; σ = 1,32 см. Так как n = 502, то и s_σ2=± 0,06 см. Определите доверительные интервалы для средней арифметической генеральной совокупности с уровнями значимости 0,01; 0,02; 0,05.

4. При обследовании 150 взрослых мужчин средний рост был равен 167 см, а σ = 6 см. В каких пределах находится средняя арифметическая генеральной совокупности с вероятностью 0,99? 0,95? В каких пределах находится ² с вероятностью 0,99? 0,95?

5. Распределение кальция в сыворотке крови обезьян характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%, σ = 1,27, n = 100. Постройте 95%-ный доверительный интервал для генеральной средней (μ) этого распределения, рассчитайте коэффициент вариации.

6. Было изучено общее содержание азота в плазме крови крыс-альбиносов в возрасте 37 и 180 дней. Результаты выражены в граммах на 100 куб. см плазмы. В возрасте 37 дней 9 крыс имели: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. В возрасте 180 дней 8 крыс имели: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1,12. Установите доверительные интервалы для разницы с вероятностью 0,95.

7. Определить границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии и генеральной средней распределения кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян. Для этого распределения n = 100, s_σ2 = 1,60.

8. Определить границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной средней и дисперсии распределения 40 колосков пшеницы (σ² = 40, 87 мм²).

9. Определить границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной средней и дисперсии численности поросят в 64 опоросах, если s_σ2 = 8, 25, = 1,85.

10. Известно, что средний вес кроликов составляет 2,1 кг. Определить границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной средней и дисперсии при n = 30, s_x = 0,56.

11. У 100 колосьев измеряли озерненность колоса (Х), длину колоса (Y) и массу зерна в колосе (Z). Найти доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при P₁ = 0,95, P₂ = 0,99, P₃ = 0,999, если = 18, 52 шт., = 6,766 см, = 0,554 г.

12. В отобранных случайным образом 100 колосьях озимой пшеницы подсчитывалось число колосков. Выборочная совокупность характеризовалась следующими показателями: = 14,67 колосков и σ = 2,28. Определите, с какой точностью получен средний результат ( ) и постройте доверительный интервал для генеральной средней и дисперсии при 95% и 99% уровнях значимости.

13. Число ребер на раковинах ископаемого моллюска Orthambonites calligramma:

    32	34	31	31	30	26	26	26	31	26
    26	26	26	26	25	19	20	20	22

14. Известно, что n = 19, σ = 4,14 ребер. Определите границы доверительного интервала для генеральной средней и для дисперсии при W = 0,01.