Рубежный контроль

Цена одной задачи – 5 баллов

Оценка освоения материала студентами в зависимости от количества набранных баллов

Количество баллов	Оценка
Менее 45	Неудовлетворительно (2)
От 45 до 70	Удовлетворительно (3)
От 70 до 100	Хорошо (4)
Свыше 100	Отлично (5)

Модуль 5 расчет показателей корреляции

Цель – познакомить студентов с основными способами расчета показателей корреляции.

В отличие от функциональной связи, когда одному значению аргумента (х) соответствует определенное значение функции (у), при корреляционной связи – одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное, или некоторое множество значений функции. Близость этого множества значений функции к друг другу соответствует понятию силы или тесноты корреляционной связи.

Биологические объекты всегда в той или иной степени неоднородны по своим наследственным особенностям и, кроме того, в любом, даже тщательно спланированном эксперименте его объекты испытывают не учитываемые воздействия факторов внешней среды.

При изучении корреляционных связей возникают два основных вопроса – о тесноте связи и о форме связи. Для измерения тесноты и формы связи используют специальные статистические методы, называемые корреляцией и регрессией. По форме корреляция может быть линейной и криволинейной, по направлению прямой и обратной. В пособии рассматривается только случай линейной корреляции как наиболее простой.

Под линейной корреляцией между двумя признаками X и Y понимают такую зависимость, которая носит линейный характер и выражается уравнением прямой линии Y = a + bX. Это уравнение называется уравнением регрессии Y по X, а соответствующая ему прямая линия – выборочной линией регрессии.

Пример 5.1. Изучали зависимость между массой тела гамадрилов-матерей и их новорожденных детенышей. Под наблюдением находилось 20 обезьян. Результаты наблюдений приведены в первых двух столбцах таблицы.

Масса тела матерей , кг	Масса тела детенышей , кг
10,0	0,70	– 1,87	0	0
10,8	0,73	–1,07	0,03	–0,0320
11,3	0,75	–0,57	0,05	–0,0285
10,0	0,70	–1,87	0	0
10,1	0,65	–1,77	–0,05	0,0885
11,1	0,65	–0,77	–0,05	0,0385
11,3	0,70	–0,57	0	0
10,2	0,61	–1,67	–0,09	0,1503
13,5	0,70	1,63	0	0
12,3	0,63	0,43	–0,07	–0,0301
14,5	0,70	2,63	0	0
11,0	0,65	–0,87	–0,05	0,0435
12,0	0,72	0,13	0,02	0,0026
11,8	0,69	–0,07	–0,01	0,0070
13,4	0,78	1,53	0,08	0,1224
11,4	0,70	–0,47	0	0
12,0	0,60	0,13	–0,10	–0,0130
15,6	0,85	3,73	0,15	0,5595
13,0	0,80	1.13	0,10	0,1130
12,1	0,75	0,23	0,05	0,0115
= 237,4	14,06			+1,0332

Необходимо установить тесноту и направление связи между этими признаками.

Для этого наиболее приемлемой статистикой является коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле:

Коэффициент вариации это отвлеченное число, лежащее в интервалах от – 1 до + 1. При независимом варьировании признаков, когда связь между ними полностью отсутствует, = 0. Чем сильнее сопряженность между признаками, тем выше значение коэффициента корреляции. При положительной или прямой связи, когда большим значениям одного признака соответствует большее же значение другого, коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной или обратной связи, когда большим значениям одного признака соответствуют меньшие значения другого, коэффициент корреляции сопровождается отрицательным знаком.

Для расчета коэффициента корреляции нам необходимо найти значения средних арифметических для анализируемой пары признаков. Они равны = 11,87 и = 0,70.

Далее находим значения средних квадратических отклонений, по формулам известным из предыдущих модулей задачника. Они равны = 1,516 и = 0,063.

Рассчитаем значение . Оно равно + 1,0332. Подставим полученные промежуточные статистики в формулу:

Таким образом, полученная величина эмпирического коэффициента вариации указывает на наличие положительной средней силы корреляционной связи между массой тела гамадрилов матерей и массой тела их детенышей.

Эмпирический коэффициент корреляции служит оценкой своего генерального параметра (генерального коэффициента корреляции ) и как величина случайная сопровождается ошибкой:

= 0,198

Отношение выборочного коэффициента корреляции к своей ошибке служит критерием для проверки нулевой гипотезы – предположения, что в генеральной совокупности этот показатель равен нулю, т.е. = 0. Нулевую гипотезу отвергают на принятом уровне доверительной вероятности, если:

Рассчитаем фактический критерий Стьюдента:

.

По таблице значений критерия Стьюдента находим при k = 20 –1 = 18 и P = 95%, который равен 2,10.

Таким образом, нулевая гипотеза отвергается при доверительной вероятности P = 95%.

После того как установлено наличие корреляционной связи между двумя изученными признаками, можно установить закономерность количественного изменения одного из признаков (функция) при изменении другого (аргумент). С этой целью изучаемую связь выражают аналитически – в виде соответствующего уравнения регрессии и графически – с вычислением точек теоретической кривой по найденному уравнению.

Пример 5.2. Необходимо рассчитать уравнение линейной регрессии отражающую зависимость между массой тела гамадрилов-матерей и их новорожденных детенышей и выразить его графически (по данным примера 5.1.).

Уравнение регрессии может быть записано следующим образом:

и , где – свободный член уравнения, b – коэффициент регрессии, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям прямоугольных координат. Коэффициент регрессии показывает, насколько в среднем величина одного признака изменяется на единицу меры другого. Этот показатель определяется по формуле: или .

Найдем значение .

Используя уравнение , найдем значение , подставив в формулу ранее найденные значения средних арифметических обоих признаков и значение коэффициента регрессии: откуда = 0,70 – 0,267 = 0,433

В результате уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

Г рафическое выражение рассчитанной регрессии представлено на рисунке.

На рисунке прямая – теоретическая линия прямолинейной регрессии расположена на фоне эмпирических значений функции.

Ошибка уравнения прямолинейной регрессии (ли криволинейной) вычисляется по формуле: , где y – эмпирическое значение функции; – теоретическое значение функции; n – число точек эмпирической линии регрессии; k – число коэффициентов уравнения, включая свободный член (для линейной регрессии 2).

Необходимые для определения ошибки регрессии, предварительные расчеты приведены в таблице

Масса тела матерей	Масса тела детенышей	Теоретические значения функции
10,0	0,70	0,658	0,002
10,8	0,73	0,676	0,003
11,3	0,75	0,687	0,004
10,0	0,70	0,658	0,002
10,1	0,65	0,660	0,0001
11,1	0,65	0,683	0,001
11,3	0,70	0,687	0,0003
10,2	0,61	0,663	0,003
13,5	0,70	0,737	0,001
12,3	0,63	0,710	0,006
14,5	0,70	0,759	0,004
11,0	0,65	0,681	0,001
12,0	0,72	0,703	0,0003
11,8	0,69	0,699	0,0001
13,4	0,78	0,735	0,002
11,4	0,70	0,690	0,0001
12,0	0,60	0,703	0,011
15,6	0,85	0,784	0,066
13,0	0,80	0,726	0,0006
12,1	0,75	0,705	0,002
			0,1115

Подставим полученные результаты в формулу .

Коэффициент регрессии – основной параметр уравнения прямой линии, поэтому необходимо оценивать достоверность отличия коэффициента b от нуля ( : b = 0).

Критерий Стьюдента рассчитывается по формуле: , где – коэффициент при аргументе в уравнении прямой линии; – среднее квадратическое отклонение ряда аргумента; – ошибка уравнения регрессии; n – объем выборки (количество пар).

Фактическое значение коэффициента Стьюдента сравнивается с при числе степеней свободы k = n – 2; если вычисленная величина больше табличной, то связь между x, y и значение достоверны, а если вычисленная меньше табличной величины, то связь данных признаков и значение недостоверны. Для данного примера

По таблице при P = 95% = 2,093, так как , нулевая гипотеза остается в силе. Действительно, для таких экспериментов выборка объемом 20 объектов является недостаточной.

Пример 5.3. Требуется объективно подобрать из числа опытных специалистов группу экспертов для оценки сортов декоративных растений. Для этого двум специалистам предлагается оценить 13 сортов одной цветочной культуры. Оценка ведется по комплексу признаков и выражается в виде суммы балов.

В этом случае может быть использован показатель корреляции рангов по Спирмэну. Сила корреляционной связи между двумя признаками при помощи этого показателя измеряется в основном для небольших невзвешенных рядов, которые представляют собой качественные оценки признаков.

Необходимые данные для расчета показателя корреляции рангов между оценками двух экспертов приведены в таблице.

Сумма баллов первого эксперта, х	Сумма баллов второго эксперта, у	Ранг, х	Ранг, у	Разность рангов,
72	62	1	10	9	81
67	60	2	12	10	100
64	70	3,5	3,5	0	0
64	72	3,5	1	2,5	6,25
63	57	5	13	8	64
56	61	6	11	5	25
54	68	7	5	2	4
53	66	8,5	6	2,5	6,25
53	65	8,5	7	1,5	2,25
52	64	10	8	2	4
44	70	11	3,5	7,5	56,25
34	63	12	9	3	9
33	71	13	2	11	121

Показатель корреляции рангов по Спирмэну рассчитывается по формуле:

, где n – число пар вариант корреляционных рядов, – сумма квадратов попарных разностей рангов.

Последовательность действий при расчете показателя корреляции рангов следующая:

Ранжируем данные рядов Х и У от большего к меньшему, присваивая вариантам порядковый номер. Варианта 72 ряда Х получает ранг 1, варианта 67 – ранг 2, варианты 64 и 64 должны были бы получить ранги 3 и 4, но так как они имеют равное значение, то берется средний ранг для обеих вариант: (3+4)/2 = 3,5. Остальные ранги рядов присваиваются по аналогии и представлены в таблице;

Получаем разность рангов без учета их знаков;

Возводим разности в квадрат и суммируем, получаем = 479;

Подставляем полученные значения в формулу

= – 0,32.

Достоверность показателя корреляции рангов оценивается по формуле

.

Подставим имеющиеся данные и найдем . При Р = 95% и k = n -- 2 = 13 – 2 = 11, =2,201.

Следовательно, полученный показатель корреляции рангов статистически недостоверен и кандидаты на должность эксперта не подходят или не подходит один из них.

Пример 5.4. Необходимо установить связь между плодовитостью самок кролика в системе «родители – дети»

Число детенышей в помете у «матерей», х	Число детенышей в помете у «дочерей», у	Ранг, х	Ранг, у	Разность рангов,
12	10	1	2	1	1
10	13	2	1	1	1
8	8	3	3	0	0
7	6	4	5	1	1
4	7	5	4	1	1

В этом случае показатель наследуемости может служить коэффициент корреляции рангов Спирмэна, способ расчета которого приведен в примере 5.3.

Подставим имеющиеся значения в формулу: = = +0,80. Полученный коэффициент указывает на тесную и прямую зависимость между плодовитостью «матерей» и «дочерей».

Достоверность показателя наследуемости (корреляции рангов) оценим по формуле . Подставим имеющиеся данные и найдем . При Р = 95% и k = n – 2 = 5 – 2 = 3, = 3,182. Так как, > , нулевая гипотеза отвергается и связь между плодовитостью «матерей» и «дочерей» считается статистически доказанной.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое корреляция?

2. Какая разница между корреляционной и функциональной зависимостью?

3. Какая разница между положительной и отрицательной корреляциями?

4. Что такое корреляционная решетка? Объясните как она строится. Можно ли судить о характере корреляции по расположению данных в корреляционной решетке?

5. Каковы возможные значения коэффициента корреляции? Какие значения коэффициента корреляции следует считать высокими, средними и почему?

6. Всегда ли при r = 0 корреляционная связь отсутствует?

7. Чему равен коэффициент корреляции при полной корреляционной связи?

Задачи для самостоятельного решения.

1. Длины первого (х) и второго (у) молярного зубов у ископаемого млекопитающего Phenacodus primaevus оказались следующими (в мм):

х	10,7	10,8	10,6	11,4	12,1	12,3	12,9	12,8	13,1	13,3	13,3	13,4	13,5
у	11,2	10,5	9,6	11,2	11,3	13,4	12,6	12,2	12,0	11,2	11,4	11,3	13,6

Определите коэффициент корреляции, оцените его достоверность и установите доверительные границы при Р = 0,99.

2. У окуня озера Баторино были измерены длина головы х и длина грудного плавника y:

х	66	61	67	73	51	59	48	47	58	44	41	54	52	47	51	45
у	38	31	36	43	29	33	28	25	36	26	21	30	28	27	28	26

Рассчитайте коэффициент корреляции между этими признаками.

3. Надо было установить, есть ли корреляция между высотой головы (x) и длиной 3-го членика усика (y) у Drosophila funebris. Для этого с помощью окуляр - микрометра получены следующие данные по х и у (в делениях окулярмикрометра):

х	16	15	16	15	15	16	16	17	18	18	17	17	17	15	16	15	13	15
у	33	29	31	32	33	32	33	33	36	36	35	35	35	35	33	33	30	32
х	15	16	15	15	16	15	16	15	16	14	15	15	13	15	16	14	15	15
у	33	33	32	30	33	33	33	30	31	31	31	33	30	30	33	30	33	31
х	15	15	15	16	18	15	14	15	15	14	16	17	15	15	15	14	15	14
у	31	31	32	33	35	32	32	32	31	31	33	35	32	31	34	30	33	32
х	15	17	15	14	15	18	17	17	18	17	17	16	17	18	18	16	16	17
у	31	36	33	33	33	35	36	34	35	33	32	34	34	34	35	35	33	34

Вычислите коэффициент корреляции и определите его достоверность.

4. Между живым и убойным весом свиней на материале 533 голов был получен = 0.986. Каковы доверительные границы этого коэффициента корреляции при доверительной вероятности 0.95?

5. Получены следующие данные о продолжительности беременности у кроликов породы шиншилла при различном количестве крольчат в помете (число крольчат в помете х и длительность беременности в днях у):

х	4	1	8	3	5	7	8	4	8	3	4	4	8	8	5	7	6	6	5
у	31	32	32	31	32	31	31	30	31	31	32	31	30	32	32	31	31	31	32
х	6	9	6	6	5	7	8	10	6	7	6	7	6	5	10	7	8	8	6
у	31	31	31	32	32	31	30	32	31	31	31	32	32	31	31	31	31	31	32
х	6	5	4	6	8	6	5	8	7	6	5	9	5	3	4	7	8	9	5
у	33	33	30	31	31	31	32	31	31	32	33	32	31	31	31	31	30	31	32

Есть ли корреляция между продолжительностью беременности и численностью детенышей?

6. Учитывали плодовитость самок серебристо-черных лисиц х в совхозе «Белорусский» и плодовитость их дочерей у:

х	6	7	5	6	5	5	4	5	5	4	6	7	6	5	6
у	4	5	4	4	6	2	3	3	2	6	6	9	7	2	4

Есть ли корреляция между плодовитостью матерей и плодовитостью их дочерей?

7. Были получены следующие данные о весе ягнят (одинцов) у и весе баранов – их отцов х (в кг):

х	48,5	76,6	72,2	67,0	66,5	63,3	65,4	63,9
у	4,03	4,56	4,79	4,49	4,32	4,59	4,25	4,67
х	63,1	63,0	62,5	62,2	61,0	60,2	60,0	59,6
у	4,29	4,57	4,20	4,12	4,13	4,70	3,80	4,23

Есть ли корреляция между массой тех и других?

8. При объединении ряда данных о корреляции между длиной крыла и длиной хоботка у пчел = 0.721 (n = 126 пчелам). Каковы его доверительные границы при Р = 99%?

9. У серебристо-черных лисиц были измерены длина туловища (х) и длина хвоста (у):

х	65	70	65	66	65	71	68	64	57	66	65	67	62	67	62
у	41	40	40	40	40	40	42	39	38	41	43	39	45	43	38
х	63	57	64	66	69	58	63	67	67	67	65	65	67	70	65
у	40	40	41	45	43	37	45	38	39	37	42	38	38	38	38
х	71	69	64	64	66	69	72	66	66	67	66	76	68	71	71
у	40	39	43	43	42	40	41	47	47	40	40	41	40	41	34

Есть ли корреляция между длиной туловища и длиной хвоста у лисиц? Если коэффициент корреляции окажется достоверный, определите доверительные границы для него при Р = 0,95.

10. Были получены следующие данные о массе х (в кг) и длине туловища у (в см) серебристых лисиц:

х	65	70	65	66	65	71	68	64	57	66	65	67	62	67	62
у	41	40	40	40	40	40	42	39	38	41	43	39	45	43	38
х	63	57	64	66	69	58	63	67	67	67	65	65	67	70	65
у	40	40	41	45	43	37	45	38	39	37	42	38	38	38	38

Есть ли корреляция между массой и длиной туловища у лисиц?

11. Были получены следующие данные о массе х (в г) левой камеры сердца и размеру клеточных ядер у (в μ) в мышцах сердца:

х	632	207	221	256	262	273	289
	292	304	328	372	397	460	291
у	28,4	16,6	18,0	15,9	20,7	19,4	19,8
	21,0	23,0	13,6	19,6	22,9	19,4	11,7

Ввиду резко асимметричного распределения вариант по ряду х примените для установления связи коэффициент ранговой корреляции.

12. На 12 экземплярах солонгая (Mustela altaica) были получены следующие данные о длине тела х (в мм), хвоста у (в мм) и общей массе z (в г)_:

х	172	175	163	165	161	174	159	154	163	172	164	172
у	81	90	74	78	70	86	80	70	79	81	77	81
z	83	110	72	84	86	130	116	80	122	83	94	83

Определите путем вычисления коэффициента ранговой корреляции, есть ли связь между длиной тела и хвоста и длиной тела и массой солонгаев. Оцените степень достоверности полученных коэффициентов ранговой корреляции.

13. Были получены следующие данные о массе х (в кг) и размерах шкурки – длина у и ширина z (в см) – бобров, добытых в октябре – декабре:

x	8,9	13,3	14,35	19,0	29,6	5,4	6,45	7,0	11,1
y	76	92	85	104	105	69	71	83	85
z	37	49	48	54	44	35	35	42	42

Определите частные коэффициенты корреляции между этими признаками.

14. У 25 экземпляров днепровского ерша были изучены: длина тела х (в см), масса у (в г) и масса гонад z (в г):

х	10	10	10,4	10,4	10,5	10,5	10,6	10,7	10,7	10,7	10,8	10,8	10,9
у	19,0	20,0	28,0	35,0	27,0	26,0	28,0	28,0	30,0	27,0	29,0	27,0	31,0
z	2,2	2,1	3,1	4,4	3,5	2,9	3,8	3,2	2,1	2,6	3,4	2,8	3,2
х	11,0	11,0	11,0	11,0	11,1	11,2	11,3	11,3	11,5	12,5	12,6	13,6
у	27,0	31,0	30,0	28,0	32,0	45,0	31,0	35,0	37,0	49,0	54,0	56,0
z	3,2	3,3	4,0	3,4	2,6	3,2	2,8	4,6	3,8	6,7	7,0	8,7

Определите коэффициенты корреляции между этими признаками и значения средних арифметических с их ошибками.

15. У 16 экземпляров щук были измерены длина тела х (в см), масса у (в г) и масса икры z (в г):

х	33,4	32,8	38,0	33,4	42,5	90,0	38,0	67,0
у	456	375	484	456	788	7900	9581	3550
z	32	34	24	19	126	744	42	579
х	35,4	42,8	36,0	50,5	53,4	62,0	64,0	71,0
у	478	783	365	1300	1998	2320	3650	3450
z	49	138	22	110	287	149	461	202

Определите коэффициенты корреляции между этими признаками.

16. Коровы холмогорские помеси 2-го поколения по высоте в холке х, глубине груди у и ширине в моклоках z были следующими:

х	125	126	133	130	126	132	130	130	122	133	131
у	69	69	70	71	68	73	72	72	66	76	70
z	56	52	49	53	42	56	53	53	51	57	50
х	131	138	132	127	125	122	123	128	126	126	124
у	57	73	71	71	68	67	69	70	70	65	68
z	55	50	54	53	50	50	49	52	52	51	52

Вычислите r_xy, r_xz, r _yz . Определите также , .

17. В опытах по кормлению крыс в течение 28 дней были получены следующие данные (в г) (начальная масса x₁, количество скормленной пищи х₂, конечная масса у):

x1,	16,9	12,2	13,4	15,0	13,8	17,8	20,4	7,9	16,0	12,8
х2	105	96	90	24	153	82	88	66	118	135
у	20,2	20,5	18,9	26,4	25,4	9,4	21,2	9,2	41,1	31,3
x1,	25,8	15,8	18,1	13,3	20,1	10,1	17,1	21,0	23,7	11,2
х2	98	116	104	99	153	98	103	112	133	80
у	14,8	9,7	11,3	26,0	44,7	21,0	25,2	13,7	38,5	5,8

Вычислите коэффициенты корреляции: 1) между х₁ и х₂; 2) между х₁ и у; 3) между х₂ и у.

18. В 12 анализах крови определяли: х – число эритроцитов (в миллионах), у – содержание гемоглобина (в %) и z – оседание крови за 24 часа (в мм):

х	0,80	0,71	2,63	3,19	2,80	3,14	3,21	3,28	3,63	3,30	4,10	3,29
у	22	45	61	66	72	83	73	82	78	82	81	82
z	8	18	24	26	28	29	30	30	30	30	32	32

Определите коэффициент корреляции r_xy, r_xz, r_yz.

19. Изучали зависимость между массой тела гамадрилов-матерей и их новорожденных детенышей. Под наблюдением находилось 10 обезьян. Результаты наблюдений приведены в таблице:

Масса тела гамадрилов- матерей xi, кг	10,0	10,8	11,3	10,0	10,1	11,1	11,3	10,2	13,5	12,3
Масса тела детенышей, yi, кг	0,70	0,73	0,75	0,70	0,65	0,65	0,70	0,61	0,70	0,63

Рассчитайте коэффициент корреляции между массой тела матерей и массой тела детенышей.

20. Изучали зависимость между массой живого тела и содержанием гемоглобина (по Сали) в крови павианов-гамадрилов. Результаты наблюдений приведены в таблице:

Номера исследований	Масса х, кг	Содержание гемоглобина, у
1	17	70
2	18	74
3	18	78
4	19	72
5	19	77
6	20	76
7	21	88
8	22	80
9	23	77
10	25	86

Рассчитайте ранговый коэффициент корреляции.

21. Определите, есть ли корреляция между высотой растений в см (x) и длиной максимального стеблевого листа в мм (y) у нивяника обыкновенного:

    х	48	48	40	44	45	66	60	54	69	33	45	43	44	48	37	50	38	43
    y	18	13	11	12	14	18	20	21	22	12	16	13	13	18	14	14	12	14

22. Изучали зависимость окраски стебля нивяника обыкновенного в популяции от географической широты. Были получены следующие данные:

х	56,0	56,1	57,5	58,5	59,2	60,2	61,0	62,0	63,0	64,5
y	0,0	4,0	4,5	6,0	7,0	11,0	14,0	25,0	24,0	26,0

где, х = процент растений со стеблем, интенсивно окрашенным антоцианом,

у = географическая широта в градусах. Определите, существует ли корреляция между этими данными?

23. Коррелирован ли состав флоры двух территорий (х и у), описанный по содержанию видов (в % от общего числа) следующих семейств: сложноцветные (1), бобовые (2), злаки (3), крестоцветные (4), губоцветные (5), гвоздичные (6), зонтичные (7), норичниковые (8), лилейные (9), бурачниковые (10), осоковые (11), маревые (12)?:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
х	10,7	12,5	11,8	6,6	3,0	4,6	2,4	2,5	3,1	2,6	3,0	3,6
у	12,9	13,2	5,1	5,4	7,3	4,2	5,6	4,1	4,8	3,4	1,1	2,0