28 Вычеты. Основная теорема о вычетах
Пусть – изолированная особая точка функции . Тогда в проколотой окрестности точки функция разлагается в ряд Лорана (параграф 26):
где
.
В
параграфе 26 было сказано, что интегральные
формулы для коэффициентов редко
используются для разложения в ряд
конкретных функций. Оказывается,
наоборот, удобнее ряды Лорана применять
для вычисления интегралов. Из всех
формул для
наибольший интерес представляет формула
для
ибо в ней
отсутствует
ограничивающий свободу выбора
подынтегральной функции "случайный"
множитель
.
Определение
Коэффициент
в разложении функции
в
ряд
Лорана в проколотой окрестности точки
называется вычетом
функции
относительно
этой точки и обозначается
или
(латинское слово Residuum).
Например,
( параграф 27).
Для
функции
имеем
для
для
.
Таким образом, для
имеем
,
откуда
.
Поэтому по любому контору
,
обходящему точку 0 и содержащемуся
внутри кольца
.
(Рисунок.43)
Вычеты позволяют вычислять интегралы не только по тем контурам, которые обходят единственную особую точку. Рассмотрим более общий случай.
Пусть
требуется вычислить интеграл
по
любому контуру
,
ограничивающему замкнутую область
,
внутри которой функция
аналитическая,
за исключением конечного числа особых
точек
О
чевидно,
что все эти особые точки изолированные
и каждую точку
,
можно
окружить малой окружностью
,
охватывающей только одну особую точку
(Рисунок 44). Мы получили многосвязную
область, ограниченную внешним контуром
и внутренними контурами
.
По
теореме Коши (параграф 15):
.
Каждый из слагаемых интегралов равен соответствующему вычету. Итак, доказана
Основная теорема о вычетах. Если функция аналитически в замкнутой односвязной области , ограниченной контуром , за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри области, то
29 Вычисление вычетов
В предыдущем параграфе мы убедились, что для вычисления интегралов в некоторых случаях вовсе не обязательно сводить их к вычислению первообразных. Достаточно научиться вычислять вычеты.
Очевидно, что вычет относительно правильной особой точки равен нулю. В случае существенно особой точки приходится разлагать функцию в ряд Лорана ( см пример в параграфе 28). Остановимся подробнее па случае полюсов. Здесь часто бывает удобна следующая теорема:
Теорема
1 Если
,
где
и
аналитические в
точке
,
,
и
точка
является корнем функции
кратности
,
то она является для функции
полюсом кратности
.
Доказательство
Так как
является
корнем кратности
,
то (см параграф 23), в окрестности точки
о имеем
,
где
,
т.е.
в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. – полюс кратности т для
Если
– простой полюс функции
то
,
где
–
правильная
часть ряда. Умножая обе части равенства
на
и перейдя к пределу, получим
Пример
имеет, по теореме в точке
простой полюс. Поэтому по формуле
Если функция удовлетворяет условиям теоремы 1 при , то, пользуясь формулой , получим
Пример.
Для
вычета функции относительно полюса
кратности
применяется следующая формула, содержащая
производную
-го
порядка:
Запоминать ее нет необходимости.