5 Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформные отображения

Пусть функция дифференцируема в точке и Проведем через точку любую гладкую кривую . Её образом так же будет какая-то гладкая кривая , проходящая через точку (Рисунок 6).

Рассмотрим теперь любую точку на и соответствующую точку на . Пусть означает угол наклона касательной в точке к кривой , а – угол наклона касательной к в точке .

Тогда в предположении, что точка стремится к точке , оставаясь на , . Угол поворота касательной к кривой

п ри данном отображении будет равен

Здесь второе равенство с точностью до кратного (что несущественно), а последнее основано на непрерывности аргумента в точках, отличных от нуля.

С учетом того, что результат получился не зависящим от выбора кривой , можно сделать вывод, что все кривые, проходящие через точку , при данном отображении поворачиваются на один и тот же угол, равный аргументу производной в данной точке.

Если теперь рассмотреть две кривые и проходящие через точку , и угол между ними обозначим через , то поскольку обе кривые (точнее, касательные к ним) поворачиваются на одинаковый угол, то угол между образами – и – тоже будет равен .

Определение. Отображение, сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точку, называется конформным в этой точке.

Таким образом, отображение посредством аналитической в области функции во всех точках , где , является конформным.

Далее, в силу непрерывности модуля, имеем:

Здесь означает длину отрезка , а – длину отрезка (Рисунок 6.), а – коэффициент растяжения отрезка при данном отображении. Поскольку предел этого отношения не зависит от , то можно сказать, что все достаточно малые отрезки, исходящие из точки в разных направлениях, растягиваются одинаково в раз. Итак, – это локальный коэффициент растяжения окрестности точки относительно при отображении .

Пример. Найдем коэффициент растяжения и угол поворота при отображении в точке

Решение. Так как , то . Но , а , т.е. угол поворота равен , а коэффициент растяжения равен . Рассмотрим, например, прямые и , проходящие через точку (Рисунок 7). Найдем их образы.

Д ля функции имеем , Образом прямой является парабола , то есть . Точно так же прямая отображается на параболу .

Убедитесь, что угол между прямыми и соответствующими им параболами равен , а угол между прямыми сохраняется для парабол в точке их пересечения – .

_______________

5.1 Найти угол поворота и коэффициент растяжения в каждой из следующих точек: , , при отображении с помощью аналитических функций

а)

б)

в)

5.2 В каких точках плоскости коэффициент растяжения следующих отображений равен 1

_а)

_б)

_в)

5.3 В каких точках плоскости угол поворота следующих отображений равен нулю

_а)

_б)

_в)

6 Линейная функция

Владея пока лишь арифметическими операциями над комплексными числами и производными этих операций, мы уже сейчас можем исследовать некоторые функции, полученные с помощью них. Наиболее общей из этих функций является дробно-рациональная: . Эта функция является аналитической на всей плоскости, за исключением точек, являющихся нулями знаменателя.

Рассмотрим наиболее простые частные случаи.

Функция ( , и ) называется линейной. Будем считать, что , ибо в противном случае отображает всю плоскость в одну точку и не представляет интереса. При ; – обратная функция. Прямая и обратная функции определены на всей плоскости и осуществляют взаимно-однозначное соответствие . Так как , то отображение является конформным на всей плоскости. Рассмотрим линейное отображение в различных частных случаях.

1 , – параллельный перенос всей плоскости на вектор (Рисунок 8);

2 , , т.е. , , т.е. точка находится на той же окружности с центром в точке , что и точка . , т.е. (Рис унок 9) мы получили поворот всей плоскости вокруг нуля на угол .

3 , – любое. Тогда, обозначив , получим . Таким образом, данное преобразование является композицией рассмотренных выше преобразований: поворот с последующим параллельным переносом. В геометрии такое преобразование называется движением рода.

Покажем, что всякое движение рода, отличное от параллельного переноса (то есть ), может быть осуществлено только одним поворотом.

Действительно, при данном отображении существует единственная неподвижная точка , то есть точка, удовлетворяющая условию , которое равносильно . Далее т.е. , . Таким образом, данное преобразование движения есть поворот всей плоскости вокруг на угол .

4 , – любое. Как и в случае 3 точка является единственной неподвижной точкой. ; , (Рисунок 10). Таким образом, получили растяжение плоскости относительно точки , в раз с последующим поворотом вокруг на угол (гомотетия с поворотом, т.е. преобразование подобия). Так как случаи 1 и 4 охватывают все варианты, то получаем следующий общий вывод: линейная функция осуществляет преобразование подобия всей плоскости.

Y

z₀

X

0

Замечание. Преобразование подобия всей плоскости является частным случаем конформного преобразования, которое является преобразованием подобия лишь в локальном смысле.

Пример . , . Функция осуществляет растяжение всей плоскости относительно в раз с последующим поворотом вокруг начала на угол .

6.1 Квадрат с центром в начале координат, имеющий стороны, параллельные осям координат, подвергается линейному отображению . В какую фигуру он преобразуется?

6.2 Найти линейное отображение при котором точка неподвижна, а точка 1 переводится в точку ?

6.3 Найти линейную функцию, отображающую треугольник с верши нами на подобный ему треугольник с вершинами .

6.4 Написать общий вид линейной функции, отображающей верхнюю полуплоскость на себя.

6.5 Найти общий вид линейной функции, отображающей верхнюю полуплоскость на нижнюю.

7 Дробно-линейная функция

Дробно-линейную функцию будем рассматривать при условии (иначе она превращается в уже знакомую линейную) и при условии (если , то и не представляет интереса).

Функция определена на . Выражая через , получим то есть отвечает единственное . Таким образом, функция осуществляет взаимно-однозначное отображение : . Если условиться считать

,

то получим взаимно-однозначное отображение расширенной плоскости на себя. Точку условимся называть полюсом функции . , . Поэтому функция осуществляет конформное отображение при .

Нетрудно доказать, что относительно операции композиции множество дробно-линейных преобразований образуют алгебраическую группу.

Теорема. При дробно-линейном преобразовании всякая окружность или прямая (окружность в широком смысле слова) переходит тоже в окружность в широком смысле слова.

Доказательство Разделив числитель дроби на знаменатель (например “уголком”), вынеся предварительно за скобки, получим . Введем обозначения , , . Тогда и параллельные переносы плоскости, которые, очевидно, обладают круговым свойством. А так как исходная функция является композицией этих преобразований и преобразования , то достаточно доказать круговое свойство для последнего, которое далее будем записывать в виде .

Любая окружность в широком смысле слова определяется выражением

При имеем прямую, при – собственно окружность. Полагая и , получим это же уравнение в комплексной форме:

Полагая , получим уравнение образа:

,

(мы воспользовались элементарными свойствами: и , которые легко доказываются в тригонометрической форме, а ещё проще – в показательной форме комплексных чисел, которая будет рассмотрена в параграфе 9). Но уравнение (3) имеет такой же вид, что и уравнение (2) и легко приводится к виду (1), то есть определяет окружность в широком слова.

Примеры

1 Найти образ круга при преобразовании . Так как полюс функции принадлежит окружности и отображается в , то образом окружности будет прямая. Для её построения достаточно двух точек, лежащих на ней.

В качестве этих точек могут быть взяты образы любых двух точек данной окружности, например, , (Рисунок 12). Для выяснения в какую полуплоскость перейдёт круг есть два способа:

а) , то есть получили нижнюю полуплоскость;

б) так как в силу конформности отображения углы сохраняются, то сохраняется ориентация области при обходе её границы. Так, порядок , , соответствует обходу против часовой стрелки, когда область остающейся слева при обходе соответствующих точек , , , будет нижняя полуплоскость.

7.1 Найдите образ круга при отображении . Так как полюс не принадлежит окружности, то все её точки отображаются в конечную часть плоскости , т.е. в окружность. Найдите её по образам трёх точек, а затем образ круга.

7.2

8 Степенная функция с натуральным показателем. Риманова поверхность

Функция , где , рассмотрим сначала на более простом примере . , . Рассмотрим область (Рисунок 13), ограниченную положительной полуосью и лучом .

О чевидно, что луч отображается на луч , а луч на луч . Понятно, что и внутренняя часть угла отображается на внутреннюю часть угла , т.е. при вращении луча вокруг нуля в плоскости соответствующий луч в плоскости вращается в два раза быстрее. Когда луч в плоскости заметёт всю верхнюю полуплоскость , то соответствующий луч в плоскости обойдёт всю плоскость. При обходе нижней полуплоскости в , луч в сделает второй обход плоскости. Итак, функция отображает всю плоскость на всю плоскость . Т.к. обращается в ноль только при , то отображение является при всех конформным, а в конформность, как мы видели, нарушается. Отображение не является взаимно-однозначным, т.к. любой точке отвечают две точки , одна из которых лежит в верхней полуплоскости, включающей положительную полуось , а другая в нижней, включающей отрицательную полуось . Поэтому обратное соответствие ( – это множество решений уравнения при любом фиксированном ) не является функцией. Впрочем, её часто называют многозначной функцией, хотя все основные понятия теории функций (предел, непрерывность, дифференцируемость, разложение в ряд и т.д.) касаются обычных функций.

Как же получить обратную функцию для ? Напомним, что в действительной области эту задачу удалось разрешить с помощью сужения функции на промежутки её монотонности и , на каждом из которых нашлась обратная функция. Однако для функции комплексной переменной понятие монотонности бессмысленно. Поэтому область монотонности заменяют более общее понятие – области однолистности.

Определение Множество называется областью однолистности функции ,если .

Например, для функции областями однолистности являются верхняя и нижняя полуплоскости (впрочем, плоскость может быть разделена на две области однолистности любой неограниченной кривой, проходящей через точку и имеющей эту точку в качестве центра симметрии, например, , и т.п.).

Итак, существуют две функции, удовлетворяющие уравнению : одна из них отображает всю плоскость ω на верхнюю полуплоскость z, другая – отображает её на нижнюю полуплоскость.

С уществует и другой способ выделения обратной функции, в котором в качестве множества значений фигурирует не область однолистности, а вся плоскость . Но для этого в качестве области определения функции берётся вместо одной плоскости двулистная поверхность. Она получается так: берём две плоскости одну над другой, разрезаем их вдоль положительной полуоси и склеиваем ‘’нижний’’ край среза первого листа с ‘’верхним’’ краем второго, а оставшиеся свободными края склеиваем мысленно. Полученная двулистная поверхность называется римановой. Отличить точки, лежащие на разных листах друг над другом можно по их аргументу, задав их, например, в тригонометрической форме.

Д ля функции областями однолистности будут углы, на которые можно разбить плоскость лучами , , ,… (Рисунок 14). Для каждой области однолистности имеем свою обратную функцию, а всего их n: , . Если хотим построить обратную функцию на всей плоскости , то строим вместо плоскости -листную риманову поверхность, склеивая последовательно края, оставшиеся свободными.

9 Определение функции , , . Свойства показательной функции

Как известно, функции действительной переменной , , на всём разлагаются в степенные ряды. Подобные степенные ряды имеют смысл и для комплексной переменной . Рассмотрим ряд _. К ряду, составленному из модулей его членов (он положительный) можно применить признак Даламбера:

при .

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на . Естественно принять по определению:

, (1)

Аналогично, предварительно проверив сходимость на , примем по определению:

(2)

(3)

Докажем ряд свойств функции .

1 .

При этом мы воспользовались возможностью почленного перемножения в любом порядке абсолютно сходящихся рядов.

2 .

Мы получили знаменитую формулу Эйлера, связывающую тригонометрические и показательную функцию в комплексной плоскости: .

₃ , т.е. , .

;

Таким образом, выполняется условия КРЭД, т.е. – функция нналитическая на всей плоскости.

4 .

5 , .

6 , т.к. .

7 , т.е. является периодом функции . Период мнимый. В действительной области функция не имеет периода. Действительно, покажем, что все периоды функции имеют вид . Пусть и и .

8 Показательная форма комплексного числа. С помощью формулы Эйлера тригонометрическая форма комплексного числа может быть преобразована в более компактную показательную форму: ; например, , , . Математик, знакомый с показательной формой, редко применяет тригонометрическую форму, т.к. первая более удобна при выполнении умножения, деления и возведения в степень. Например, , т.е. формула Муавра получается моментально!

В заключение этого параграфа отметим любопытный факт на фронтоне Дома техники в Париже выбита формула, связывающая между собой пять самых главных в математике чисел: . Вот она: .

10 Отображение с помощью функции . Логарифм и его функциональные ветви

Исследуем ветви отображения с помощью функции . Так как , то отображение является конформным на всей плоскости. Для выяснения множества значений функции установим, при каких значениях существует решение уравнения относительно . Например, при уравнение не имеет решений. Кроме того, если при каком-то решение существует, то и тоже будут решениями в силу периодичности функции . Обозначим множество решений уравнения при заданном через .

Пусть , . Тогда

и и .

Так как для правая часть равенства существует и имеет бесконечно много значений, то и существует и имеет бесконечно много значений. Итак, функция отображает всю плоскость на .

В параграфе 9 было показано, что для функции , . Поэтому прямая отображается на окружность (Рисунок15). В частности, ось переходит в единичную окружность, при перемещении прямой неограниченно вправо соответствующая окружность будет неограниченно расширяться, при движении влево – окружность будет сжиматься к центру, но, ни когда не превратится в точку .

Рассмотрим теперь прямые . В этом случае заполняет интервал , а есть уравнение луча исходящего из начала под углом (Рисунок 16), т.е. прямая отображается на весь луч, кроме точки . Когда прямая заметает полосу от до , то соответствующий луч обходит всю плоскость против часовой стрелки.

Нетрудно видеть, что полоса является областью однолистности функции . Действительно, если , то либо , либо . В первом случае точки и лежат на разных окружностях и , а во втором случае – на разных лучах и , т.е. .

А всего у функции имеется бесконечно много областей однолистности – полосы вида . Между каждой такой полосой и проколотой окрестностью получается взаимно-однозначное соответствие. Отсюда следует, что множество значений даёт возможность определить бесконечно много функций, каждая из которых отображает на одну из полос однолистности. Возвращаясь к формуле

, (1)

мы при каждом значении получим соответствующую функцию . Каждому отвечает занумерованная полоса (Рисунок 17).

Поменяв теперь для удобства местами буквы и , перепишем формулу (1) в более привычном виде:

, (2)

При получим главное значение логарифма, которое обозначается , т.е.

(3)

Подчеркнём, что – однозначная функция, – множество ветвей логарифмической функции.

Примеры

1 ,

2 .

Интересно проследить, как выглядит полученные результаты, если . Пусть , тогда , т.е. логарифм положительного числа имеет бесконечно много значений, из которых только одно (при ) действительное. Это значение и есть тот логарифм, который изучается в школе, т.е. школьная логарифмическая функция это не что иное как главное значение логарифма, суженное на положительную полуось .

Если , то . Ни при каком целом значении выражение не равно нулю. Поэтому логарифм отрицательного числа имеет бесконечно много значений, среди которых нет ни одного действительного (ни у одной ветви!). Поэтому в области действительных чисел логарифм отрицательного числа значений не имеет.

Свойства логарифмов:

1

2 – доказывается аналогично.

3 . Обращаем внимание, что . Это множество является частью множества , но с ним не совпадает, то есть .

4 , , т.е. аналитична в своей области определения.

Впрочем, если мы хотим строить функцию, обратную для на всей плоскости , а не на каждой из областей однолистности, то можно поступить аналогично параграфу 8, построив вместо плоскости бесконечнолистную риманову поверхность. Для этого бесконечное число плоскостей складываем стопкой (точка у них общая и она выкалывается), разрезаем их вдоль отрицательной части и склеиваем верхний край среза -ного листа с нижним краем среза -го листа .Таким образом, получим взаимно-однозначное соответствие между плоскостью и римановой поверхностью, осуществляемое функциями или (теперь эта функция – однозначная на римановой поверхности).

11 Свойства функций и

В параграфе 9 приведено определение и на всей плоскости. Рассмотрим их свойства.

1 – чётная функция, а – нечётная. Это легко усматривается из их определения.

2 Подставляя в формулу Эйлера вместо число , получим . Складывая или вычитая из первого равенства второе, получим новые формулы Эйлера, выражающие тригонометрические функции через показательные:

, .

3 .

4 Решим уравнение :

. Аналогично только при . Таким образом, все нули этих функций находятся только в области действительных чисел, новых не добавляется.

5 . Аналогично , т.е. обе функции аналитические на всей плоскости.

6 Сохраняются все тождества, связывающие тригонометрические функции: формулы приведения, суммы, удвоенного и половинного аргумента и т.д. В дальнейшем (параграф 24) они будут легко доказаны с помощью теоремы единственности.

7 и и в комплексной плоскости якляются периодическими функциями с основным (т.е. наименьшим по модулю) периодом . Для доказательства воспользуемся тем фактом, что если – основной период для , то для основной период имеет вид . Так как имеет основной период , то для он 6удет , а для будет . Из формулы Эйлера получаем требуемое.

8 Функции и не ограничены на . Действительно,

,

и . Итак, хотя на оси синус является ограниченной функцией, но по мере удаления точки от оси модуль синуса может быть как угодно большим, т.е. синус (аналогично и косинус) функции не ограниченные на .

Пример Решить уравнение . Как легко догадаться, это уравнение решений в не имеет. А в ?

т.к. . Все корни мнимые и расположены на двух прямых, параллельных оси .

12 Комплексная степень комплексного числа. Общий случай степенных функций

Если – комплексное число, то нам известна функция для – целых и дробных. В общем случае, когда – комплексное (в том числе иррационально), степень вводится по аналогии с действительной областью следующим определением:

Определение , :

(1)

Покажем, что определение не противоречит известным нам случаям, когда – целое или рациональное. Предварительно расшифруем формулу (1) в общем случае:

.

Мы видим, что имеет множество значений, соответствующих разным целым значениям . Обозначим главное значение (при ) через , . Тогда все значения можно записать в виде последовательности геометрической прогрессии (все ее члены являются функциями от ):

Если , то лежат на одной окружности с центром в нуле. Рассмотрим частные случаи.

1 Пусть – целое. Тогда . Итак, при целом степень имеет единственное значение .

2 Пусть , где дробь –несократимая. . При мы получим разных значений для . Для следующей серии значений значения будут повторяться. Действительно, при имеем , т.е. получим то же значение, что и при .

Пример ,

т .е.

П олучили три значения – точки, делящие окружность на три равные части.

1 Пусть – иррациональное число. Тогда все значения будут различны. Действительно, допустим противное: и . Это равносильно: ( – целые), т.е. , . Но, в силу иррациональности , последнее равенство невозможно.

Примеры

1 . По аргументу видно, что среди множества значений нет ни одного действительного. Это же будет и для любой иррациональной степени отрицательного числа. Поэтому нет смысла рассматривать показательную функцию с отрицательным основанием в действительной области.

2 , т.е. все значения положительны.

Дополнительно к параграфу 12: о показательных функциях с любым основанием

В параграфах 9,10 мы рассмотрели показательную функцию (экспоненту), определённую как сумму ряда. Однако выражение или более общее , как следует из определения степени, содержит множество значений при фиксированном и, следовательно, не является функцией в обычном понимании. Для того чтобы отличить экспоненту – функцию от выражения мы будем в дальнейшем в этом параграфе обозначать её только (мы этого не делали в параграфах 9,10 только ради более привычной записи и ввиду того, что до рассмотрения комплексной степени комплексного числа это не приводило к двусмысленности).

Для и имеет смысл выражение . Это выражение при определяет некоторую показательную функцию, а вообще их бесконечно много. Часто эти функции называют «однозначными ветвями многозначной функции» . В частности, при и при , т.е. (хорошо нам знакомая) это главная ветвь «многозначной функции» .

В заключение интересно с более общей позиции взглянуть на “функцию” , где , и ещё раз попытаться выяснить, почему она не рассматривается в действительной области. Итак, .

В правой части имеем разные комплексные числа с одинаковым модулем и аргументом . При изменении от до меняется от до , а аргумент растёт пропорционально . При разных фиксированных график комплексной функции действительной переменной представляет из себя логарифмические спирали. Например, при получим таблицу и соответствующий ей график (Рисунок 19) функции

	…							…
	…							…

Эта функция принимает действительные значения только в случае, когда аргумент её значений имеет вид , т.е. или целые.

И сследуйте аналогично и постройте спираль при , т.е. . Она пересекает действительную ось только в случае, когда , т.е. при (в три раза чаще). Чем больше , тем гуще соответствующая спираль пересекает ось , но все эти точки пересечения изолированы. Нетрудно также доказать что на оси имеется континуум точек, через которые не проходит ни одна из рассматриваемых спиралей (ни при каком целом ).

Итак, определяет счётное число комплекснозначных функций, каждая из которых принимает изолированные между собой действительные значения. Если даже объединить все эти значения, то они всё равно не заполняют действительную ось с выколотым нулём.