Введение

Ещё в середине XVI века математики, решая квадратные уравнения в случае, когда дискриминант меньше нуля, говорили, что уравнение корней не имеет. И это было для того времени верным утверждением, ибо мнимые числа ещё не были известны. Но в XVI веке итальянский математик Кардано, один из открывателей формулы корней кубического уравнения, обнаружил следующий интересный факт. Опубликованная им формула содержит квадратные корни, и в том случае, когда под корнем оказывалось отрицательное число, казалось бы, надо делать вывод, что уравнение не имеет корня. Однако Кардано взял заведомо действительные числа , , , составил уравнение , для которого эти числа являются корнями, раскрыл в уравнении скобки, решил его по своей формуле и опять наткнулся на квадратный корень из отрицательного числа. Ему ничего не оставалось делать, как признать «законными» мнимые числа и ввести операции над ними. С помощью этих операций его формула и приводила, в конце концов, к заранее известным действительным корням.

Так в математике появились мнимые числа. Однако ещё три столетия существовало недоверие к мнимым (то есть «нереальным» числам), пока Гаусс в XIX веке не привел их геометрическую интерпретацию. В настоящее время с помощью функций комплексной переменной не только получены важные результаты и для функций действительной переменной, но эти результаты приобрели определенную законченность. Функции комплексной переменной находят важные применения в аэро- и гидромеханике, в атомной физике, теории упругости, картографии, неевклидовой геометрии и так далее.

В предлагаемом курсе очень кратко, но достаточно строго излагаются основные идеи теории функций комплексной переменной. В основном они базируются вокруг теоремы и интегральной формулы Коши. Если попытаться сравнить данный курс с разработкой месторождений полезных ископаемых, то мы остановились на верхних пластах, которые дают много полезных вещей с наименьшей затратой сил.

1 Комплексные числа и их геометрическое представление. Предел последовательности, сумма числового ряда

Комплексные числа имеют вид , где , ,а . При этом называется действительной частью числа , а – мнимой частью.

В алгебре определяются арифметические операции над комплексными числами так, как если бы они были двучленами, состоящими из действительных чисел. Комплексные числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части.

Отношение между комплексными числами не определено.

Множество всех комплексных чисел обозначается . Между множествами и существует взаимно однозначное соответствие (Рисунок 1). Выражения «число », «точка » и «вектор » можно рассматривать как равнозначные.

В ведя полярные координаты точки , то есть ее модуль и аргумент , мы получим кроме алгебраической формы записи числа , еще и тригонометрическую

(1)

_{которая более удобна при операциях умножения, деления и возведения в степень. Следует отметить, что аргумент не определен для точки} , а для других точек имеет бесконечно много (счетное число) значений. Поэтому в случае мы будем называть это значение аргумента главным и обозначать . Для

, ₍₂₎

Если точка находится в правой полуплоскости, то, очевидно, . В остальных случаях эта формула неверна, так как множество значений арктангенса , а . Поэтому, если находится во второй четверти (Рисунок 2а), то . Если в третьей четверти (Рисунок 2б), то . Итак¹:

(3)

Из алгебры известно, что

, (4)

Если – натуральное число, то

, (5)

где – любое целое число.

Заметим, что , где – любое целое число, кратное . Поэтому множество чисел не совпадает с множеством , а лишь является его правильной частью.

Очевидно, что , где – некоторое (не любое) целое число, подобранное так, что .

Для модуля легко доказываются свойства:

1 ,

2 ,

3 .

Если , , то можно получить следующие формулы для расстояния:

Это последнее равенство весьма важно, так как оно в сочетании с алгебраическими свойствами позволяет сделать вывод:

Теорема. Множество есть линейное нормированное пространство, изоморфное евклидову пространству .

Эта теорема позволяет нам использовать все известные топологические понятия и теоремы, касающиеся , также и в , например:

1

2 , так как сходимость в равносильна сходимости по координатам.

Расширим теперь комплексную плоскость, добавив к ней так называемую бесконечно удаленную точку , определив - окрестность этой точки как внешнюю часть замкнутого круга с центром в точке и радиусом (Рисунок 3):

, .

Определение Последовательность называется бесконечно большой (пишется: или ), если .

Это определение, очевидно, равносильно следующему: (какой бы ни была окрестность бесконечно удалённой точки), вне ее остается лишь конечное число членов последовательности.

Примеры

1. ;

2. – неограниченная последовательность, хотя и не стремится к (т.е. не является бесконечно большой).

Д ля изображения расширенного множества комплексных чисел на ограниченном пространстве Риман использовал стереографическую проекцию сферы на расширенную плоскость (Рисунок 4).

П усть сфера своим «южным полюсом» касается плоскости в точке . Соединив каждую точку плоскости прямолинейным отрезком с «северным полюсом» сферы, отметим на сфере точку ее пересечения с отрезком. Этим устанавливается биективное отображение плоскости на сферу с выколотой точкой . Если неограниченно удаляется по плоскости от начала координат , то будет неограниченно приближаться к точке . Поэтому естественно считать, что точке на сфере соответствует бесконечно удаленная точка на плоскости , а окрестности (на сфере) – окрестность .

Сфера Римана – компакт, а взаимно однозначное и непрерывное отображение компакта есть гомеоморфизм. Поэтому расширенная плоскость есть также компакт, гомеоморфный сфере (хотя обычная плоскость не является компактом).

Напомним, что под областью мы понимаем открытое связное множество, а замкнутая область есть область с добавленной к ней границей. Линии и области в можно задавать уравнениями и неравенствами с переменной .

Примеры

1 – определяет окружность с центром в точке и радиусом 2;

2 – открытый круг;

3 – серединный перпендикуляр к отрезку с концами в точках и .

В комплексной плоскости сохраняются определения сходящегося числового ряда и его суммы, критерий сходимости геометрической прогрессии и формула ее суммы:

, при .

Верна также теорема.

Теорема. Если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и данный ряд.

В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся. Для таких рядов верен, например, переместительный закон сложения, возможно также перемножение рядов.

2 Функция, ее геометрический смысл. Предел и непрерывность функции

Пусть , а – комплексная функция комплексной переменной с областью определения и множеством значений . Геометрическая функция означает отображение множества на множество (Рисунок 5).

Примерами функций являются , , , , (но не функция в силу многозначности соответствия). Рассмотрим функцию . Здесь , .

Для всякой функции , записав в алгебраической форме, можно выделить ее действительную и мнимую части, т.е. представить ее в виде , однако технически такое представление не всегда является легкой задачей. Интерес представляет и обратная задача. Всякие действительные функции и двух действительных переменных можно рассматривать и как функции от , а следовательно – представляет из себя комплексную функцию переменной . Но даже если и – элементарные функции, то не всегда является элементарной функцией от . Например, . Тем не менее, иногда изучение функции (даже без имеющегося ее явного выражения) облегчает выяснение свойств ее действительной и мнимой частей и обратно.

Сохраняются обычные определения предела и непрерывности функции в точке:

(где ) .

Сформулируйте самостоятельно, как выглядит это определение «на языке » (по Коши) в случаях, когда , – числа или бесконечно удаленные точки, а также определение «на языке последовательностей» (по Гейне).

Определение. непрерывна в точке

Можно доказать, что если функция непрерывна в точке , то

Для функций комплексной переменной сохраняются теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного, о пределе сложной функции, а также соответствующие теоремы о непрерывных функциях.

Если функция непрерывна в точке , то это равносильно непрерывности и в точке . Действительно, и являются координатами точки в плоскости , а сходимость в равносильна сходимости по координатам.

Примеры

1 Функция непрерывна на всей комплексной плоскости, так как на ней непрерывны и .

2 Функция непрерывна на по той же причине.

3 Производная. Условия КРЭД

Допустим, что функция определена в окрестности точки .

Определение. Если существует предел

то функция называется дифференцируемой в точке , а сам предел называется производной от функции в точке .

Сохраняются вместе с их доказательствами правила дифференцирования суммы, произведения и частного, степени с натуральным показателем, сложной функции, знакомые нам для функций действительной переменной. Верна также теорема.

Теорема. Всякая дифференцируемая в точке функция является в ней непрерывной.

На примере функции можно показать, что функция может быть непрерывной, но не дифференцируемой.

Рассмотрим вспомогательную функцию

,

где , т.е.

(1)

Очевидно, что если дифференцируема в точке и , то . И обратно, если то функция дифференцируема в точке и . Этот критерий дифференцируемости функции, аналогичный такому же для функций действительной переменной, мы применим для доказательства принципиально нового критерия, присущего именно функциям комплексной переменной (критерий Коши-Римана-Эйлера-Даламбера).

Теорема (критерий КРЭД). Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в точке и чтобы в этой точке выполнялись следующие условия КРЭД:

Доказательство

1 Необходимость Пусть дифференцируема в точке . Тогда из (1):

где

Пусть , , . Подставляя эти выражения в правую часть и приравнивая действительные и мнимые части, получим:

(2)

Обозначим расстояние между точками и через , т.е. . Тогда .

Это, в сочетании с (2), и означает, что функции и дифференцируемы в точке . Тогда, в силу единственности дифференциала, имеем для коэффициентов равенства:

Кроме того, получаем формулу:

2 Достаточность Пусть функции и дифференцируемы в точке и удовлетворяют условиям КРЭД. Тогда

где,

где , Обозначим , т.е. . Тогда

Таким образом, мы доказали, что

, где ,

что, согласно (1), означает дифференцируемость в точке .

Примеры

1 Для функции имеем: , ; , . т.е. условия КРЭД не выполняются ни в одной точке. Следовательно, на всей плоскости функция не дифференцируема.

2 . Убедитесь самостоятельно, что она нигде не дифференцируема.

3 . Функция дифференцируема на и

4 Аналитические и гармонические функции

Определение Функция называется аналитической в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Очевидно, что понятия аналитичности и дифференцируемости функции в области равносильны.

Примеры

1 Функция является аналитической на всей плоскости.

2 Для функции имеем:

Таким образом, условия КРЭД выполняются при или , т.е. только на координатных осях. Следовательно, на этих осях функция дифференцируема, но не является аналитической.

Рассмотрим связь аналитических функций с так называемыми гармоническими функциями.

Пусть – функция распределения температур в каждой точке замкнутой области (пластинке). Если теплообмен происходит только в пределах плоскости этой пластинки, и на её границе функция задана и не меняется во времени, то интуитивно ясно, что и внутри области будет в каждой точке вполне определенная температура. В конце XVIII в. Лаплас доказал, что температура удовлетворяет следующему уравнению:

а его решение назвал гармоническими функциями, если они имеют непрерывные производные до второго порядка.

Теорема. Если аналитическая в области функция, то , – гармонические в функции.

Доказательство Продифференцируем первое условие КРЭД по , а второе – по и сложим результаты;

Замечание. Можно доказать, что всякая функция, аналитическая в области, имеет в ней непрерывную производную. Поэтому в дальнейшем для облегчения некоторых доказательств (в частности, теоремы Коши параграф 15) будем под аналитической функцией понимать функцию, имеющую непрерывную производную в области. Отсюда, в частности, и из формулы (3) параграф 3 и из условий КРЭД следует непрерывность частных производных первого порядка от функций и . В дальнейшем (параграф 22) будет доказано, что всякая аналитическая в области функция имеет в ней производные любого порядка, откуда и вытекает существование и непрерывность частных производных любого порядка от , . Поэтому смешанные производные в (1) не зависят от порядка дифференцирования (теорема Шварца). Аналогично доказывается, что – функция гармоническая.

Интересно отметить, что зная какую-нибудь гармоническую функцию или , можно почти однозначно (с точностью до произвольной постоянной) найти парную с ней функцию так, чтобы была функцией аналитической.

Пример. Восстановить аналитическую функцию по её мнимой части

Решение Сначала убедимся, что – гармоническая функция (в противном случае задача не имеет решения):

Поскольку должна быть аналитической, то для неё должны выполнятся условия КРЭД, т.е.

(2)

Поскольку искомая функция дифференцируема, то задача свелась к восстановлению функции по известному её полному дифференциалу .С такой задачей мы встречались в теории криволинейных интегралов и теории дифференциальных уравнений (уравнения в полных дифференциалах).

Проинтегрируем первое равенство (2) по :

Таким образом, искомая аналитическая функция имеет вид

,

где – произвольная действительная постоянная.