- •Численное интегрирование
- •Формула трапеций
- •Введите число точек - 100
- •Формула Симпсона
- •Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами
- •Аппроксимация некоторых несобственных интегралов определенными интегралами с точностью ε.
- •Упрощение подынтегральных функций
- •Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом
- •Численное решение дифференциальных уравнений Основные определения и постановка задачи
- •Метод Эйлера
- •Методы Рунге-Кутта
- •Классический метод Рунге-Кутта
- •Метод наименьших квадратов Постановка задачи
- •Нахождение приближающей функции в виде линейной функции
- •Нахождение приближающей функции в виде других элементарных функций
- •Нахождение приближающей функции в виде квадратичной функции
Аппроксимация некоторых несобственных интегралов определенными интегралами с точностью ε.
I. , a>0, p>1, C>0
Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие примет вид .
Потребуем , откуда получим , причем в качестве верхнего предела интегрирования удобно принять наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.
Примечание. Если потребовать точность ε/2, неравенство будет иметь вид: .
II. , λ>0, C>0.
Подынтегральная функция знакоположительна, тогда условие примет вид .
Потребовав , получим , причем в качестве верхнего предела интегрирования удобно принять наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству.
Примечание. Если потребовать точность ε/2, неравенство будет иметь вид: .
Упрощение подынтегральных функций
Несобственный интеграл называют абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл .
Достаточные условия сходимости абсолютно сходящихся интегралов:
Если для любых значений x на промежутке [a, +) и сходится, то также сходится.
Если функции |f(x)| и |g(x)| эквивалентны при x ( ) и несобственный интеграл сходится, то сходится и несобственный интеграл .
Используя достаточные условия сходимости абсолютно сходящихся интегралов можно использовать упрощенные подынтегральные функции вместо заданных.
Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, b) и или не существует.
Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначают, как и определенный интеграл и говорят, что несобственный интеграл функции f(x) сходится на отрезке [a, b].
Аналогично определяется несобственный интеграл в точке a.
Если функция f(x) имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка [a, b] и непрерывна при a x < c и c < x b, то по определению полагают .
Несобственный интеграл (где f(c)=, a<c<b) называется сходящимся, если существуют оба предела в правой части равенства, и расходящимся, если не существует хотя бы один из них.
Несобственные интегралы с бесконечным разрывом подынтегральной функции на отрезке интегрирования с помощью замены переменной интегрирования преобразуют к несобственным интегралам с бесконечными пределами.
Численное решение дифференциальных уравнений Основные определения и постановка задачи
Дифференциальное уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид:
(1)
Решением дифференциального уравнения (1) называется функция y(x), подстановка которой в уравнение обращает его в тождество: .
График решения y=y(x) называется интегральной кривой.
Задача Коши для дифференциального уравнения (1) состоит в том, чтобы найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 (2). Пару чисел (x0,y0) называют начальными данными.
Решение задачи Коши называется частным решением дифференциального уравнения (1) при условии (2).
Геометрически задача Коши означает, что требуется найти интегральную кривую y=y(x), проходящую через заданную точку (x0,y0).
Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши.
Пусть функция f(x,y) – правая часть уравнения - непрерывна вместе со своей частной производной по переменной y в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных данных (x0,y0)D задача Коши имеет единственное решение y=y(x).
При выполнении условий теоремы через точку (x0,y0) на плоскости проходит единственная интегральная кривая.
В классическом анализе разработано немало приемов решения дифференциальных уравнений, однако при решении практических задач эти методы не дают результата. В этом случае прибегают к методам приближенного решения дифференциальных уравнений. В зависимости от формы представления решения выделяют
аналитические методы (решение в виде аналитического выражения);
графические методы (решение в виде графика);
численные методы (решение в виде таблицы).
Численное решение задачи Коши состоит в том, чтобы получить искомое решение y(x) в виде таблицы его приближенных значений аргумента x на некотором отрезке [a, b]:
x0=a, x1, x2, …, xm=b (3)
Точки (3) называют узловыми, множество этих точек называют сеткой на отрезке [a, b].
Как правило, используют равномерную сетку с шагом h:
xi=x0+ih (i=0, 1, …, m)
Приближенные значения численного решения задачи Коши в узловых точках обозначим yi.
yi y(xi), где (i=0, 1, …, m)
Начальное условие выполняется точно: y0 = y(x0).
Величина погрешности численного решения задачи Коши на сетке отрезка [a, b] оценивается величиной ,
т.е. расстоянием между векторами приближенного решения (y0, y1, …,ym) и точного решения (y(x0), y(x1), …,y(xm)) на сетке по m-норме.