Формула Симпсона

Найдем коэффициенты формулы ,

где , i=0,1,…,n при n=2.

При i = 0

При i = 1

При i = 2

Формула на отрезке [x₀, x₂] примет вид:

При n=2m применив формулу к каждой паре частичных отрезков [x_2i-2, x_2i] (i=1,2,…,m) получим формулу Симпсона:

Рассмотрим погрешность:

На отрезке [a, b]

или , где

При вычислении по методу повторного счета можно использовать формулу: . Если при вычислении интеграла требуемая точность не достигнута (т.е. ), предусматривается повторный счет с шагом, уменьшенным вдвое.

Программа вычисления по формуле Симпсона методом повторного счета:

program lab4_2;

var n: integer;

S,a,b,e,h,x,I_n,I_n2,M: real;

function f(x: real):real;

begin {записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]}

f:=sin(x);

end;

begin

write('Введите концы отрезка интегрирования: ');

readln(a,b);

write('Введите погрешность e: '); readln(e);

I_n:=0;

n:=4;

Repeat

h:=abs(b-a)/n;

s:=(f(a)-f(b))/2;

x:=a+h;

repeat s:=s+2*f(x)+f(x+h);

x:=x+2*h;

until x>=b;

I_n2:=2*h*s/3;

n:=n*2;

M:=abs(I_n - I_n2);

I_n:=I_n2;

Until M<=15*e;

writeln('Интеграл I=',I_n2:12:7);

readln;

end.

Блок-схема вычисления по формуле Симпсона методом повторного счета	Результаты работы программы:
	Введите концы отрезка интегрирования: 0 3.1415 Введите погрешность e: 0.001 Интеграл I= 2.0002691 Введите концы отрезка интегрирования: 0 3.1415 Введите погрешность e: 0.000001 Интеграл I= 2.0000001

Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [a, +) и существует предел интеграла как функции верхнего предела интегрирования:

(*)

Тогда этот предел называют несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a, +) и обозначают .

В случае существования предела (*) говорят, что несобственный интеграл функции f(x) сходится на промежутке [a, +).

Представим несобственный интеграл на промежутке [a, +) в виде суммы определенного интеграла на отрезке [a, b] и несобственного на промежутке [b, +): .

Интеграл функции f(x) сходится на промежутке [a, +), если для любого числа ε>0 существует число в такое, что абсолютная величина второго интеграла будет меньше ε, т.е.

(**)

Тогда значение сходящегося несобственного интеграла на промежутке [a, +) равно с точностью ε определенному интегралу от функции f(x) на отрезке [a, b]:

В случае, когда вычисляют по одной из квадратурных формул, это ведет к увеличению погрешности. Тогда поступают следующим образом:

1) b выбирают настолько большим, чтобы имело место неравенство

2) определенный интеграл вычисляют по одной из квадратурных формул с точностью ε/2.

Таким образом, суммарная погрешность