Численное интегрирование
Для вычисления
определенного интеграла используется
формула Ньютона-Лейбница:
,
где F(x) – одна из первообразных функции f(x) (такая что F’(x)=f(x)).
Однако функция f(x) может быть задана таблицей или графиком, а также аналитически, но нахождение первообразной в аналитическом виде затруднительно. В этих случаях применяют методы приближенного (численного) интегрирования.
Формулы, используемые для приближенного вычисления однократных интегралов, называют квадратурными формулами.
Считая f(x) Ln(x),
на [a,b],
получим
не зависит от x, обозначим через Ai
Перейдем
всюду к переменной t:
,
откуда
,
.
При x = x0 t = 0;
…
x
= xn
.
Тогда
.
Таким образом,
Ai=(b-a)
Hi,
где
,
i=0,1,…,n.
Формула трапеций
Найдем коэффициенты формулы ,
где , i=0,1,…,n при n=1.
При i
= 0 
При i
= 1 
Формула на отрезке [x0, x1] примет вид:
Для отрезка [a,
b]:
(*)
Рассмотрим погрешность:
На отрезке [x0,
x1]
погрешность
.
При
(*) дает значение интеграла с избытком;
при
(*) дает значение интеграла с недостатком.
На отрезке [a,
b]
.
Поскольку hn=|b-a|,
то
,
где
.
Программа численного интегрирования методом трапеций:
program lab_4_1a;
var i,n :integer;
s,h,a,b,x :real;
function f(x: real):real;
begin {функция в виде f:=[математическое выражение]}
f:=sin(x);
end;
begin
write('Введите левую и правую границы отрезка - ');
readln(a,b);
write('Введите шаг - '); readln(h);
n:=round(abs((b-a)/h));
s:=0;
for i:=0 to n do
begin
x:=a+h*i;
s:=s+f(x);
end;
s:=h*(s-(f(a)+f(b))/2);
writeln('Искомый определенный интеграл равен ',s:10:6);
readln;
end.
Блок-схема численного интегрирования методом трапеций: |
Результаты работы программы: |
n:=round(abs(b-a)/h) s:=0
x
:= a+h*i s
:= s+f(x)
s
:= h*(s-(f(a)+f(b))/2)
|
Введите левую и правую границы отрезка - 0 3 Введите шаг - 0.1 Искомый определенный интеграл равен 1.988334
Введите левую и правую границы отрезка - 0 3 Введите шаг - 0.05 Искомый определенный интеграл равен 1.989578
|
program lab_4_1;
var i,n :integer;
s,h,a,b,x :real;
function f(x: real):real;
begin {записать, функцию в виде f:=[математическое выражение]}
f:=sin(x);
end;
begin
write('Введите левую и правую границы отрезка - ');
readln(a,b);
write('Введите число точек - '); readln(n);
h:=abs((b-a)/n);
s:=0;
for i:=0 to n do
begin x:=a+h*i;
s:=s+f(x);
end;
s:=h*(s-(f(a)+f(b))/2);
writeln('Искомый определенный интеграл равен ',s:10:6);
readln;
end.
Введите левую и правую границы отрезка - 0 3.1415
Введите число точек - 100
Искомый определенный интеграл равен 1.999836
Введите левую и правую границы отрезка - 0 3.1415
Введите число точек - 1000
Искомый определенный интеграл равен 1.999998
Введите левую и правую границы отрезка - 0 3.1415
Введите число точек - 10000
Искомый определенный интеграл равен 2.000000