2.Точкові оцінки:

Точкова оцінка у математичній статистиці — це число, що обчислюється на основі вибірки, імовірно близьке оцінюваному параметру популяції.

Визначення

Нехай — випадкова вибірка з розподілу, що залежить від параметра . Тоді статистику , що набуває значення в , називають точковою оцінкою параметра .

№ 28:

1.Формули Байєса:

Теоре́ма Ба́єса — одна з основних теорем теорії ймовірностей, яка визначає ймовірність настання події, коли відома тільки часткова інформація про подію. Названа на честь Томаса Баєса.

Формула Баєса:

де

P(A) — апріорна ймовірність гіпотези A;

P(A | B) — ймовірність гіпотези A при настанні події B (апостеріорна ймовірність);

P(B | A) — ймовірність настання події B при істинності гіпотези A;

P(B) — ймовірність настання події B.

Формула виводиться із визначення умовної ймовірності:

Наслідок

Важливим наслідком формули Баєса є формула повної ймовірності події, що залежить від декількох несуміснних гіпотез (і тільки від них).

— ймовірність настання події B, що залежить від гіпотез Ai, якщо відомі їх ступені достовірності.

2.Метод моментів:

Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.

Опис

Коротко, метод моментів описується так: "Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат."

Формально:

нехай — вибірка з розподілу , що залежить від параметра . Нехай маємо функцію , таку що g(X1) інтегрована відносно міри , і

,де — бієкція. Тоді оцінка

називається оцінкою параметра методом моментів.

Метод найбільшої правдоподібності.

Найбільш поширеним методом точкового оцінювання є метод найбільшої правдоподібності (Фішера). Оцінки, отримані цим методом при досить великих вибірках, звичайно задовольняють усім вимогам обґрунтованості, незміщеності та ефективності.Метод найбільшої правдоподібності полягає в тому, що за оцінку параметра береться таке його значення, при якому функція правдоподібності досягає свого максимуму. Параметр знаходять, розв’язуючи відносно нього рівняння :

Формула Пуассона

Якщо p або q дуже малі, а 9,npq то використовують наближену формулу Пуассона, яка дає ліпше наближення шуканої ймовірності:

Геометричне означення ймовірності.

У випадку моделювання багатьох явищ виникають ситуації, коли множина можливих є неперервною. Будемо розглядати цю множину якрезультатів експерименту область G у n -вимірному координатному просторі. Точками у множині G є елементарні події. Елементарні події, з яких складається подія A, утворюють деяку область g, причому G . Аналогомg рівноможливості елементарних подій у цьому випадку є рівномірна густина розподілу точок (елементарних подій) у заданій області G. Тоді ймовірністю події A називають співвідношення міри області сприятливих подій g до міри області всіх можливих результатів експерименту G , тобто:

Якщо область G є відрізком прямої, то її міра – довжина цього відрізка; якщо G належить площині, то мірою буде її площа.

Способи представлення статистичного матеріалу

Прості способи узагальнення статистичних даних є діаграми. Одними з найвідоміших видів діаграм є графіки та гістограми.

Помилки першого і другого роду при перевірці гіпотез

Помилка першого роду - відхилена нульова гіпотеза, хоча насправді вона є вірною.

Помилка другого роду - прийнята нульова гіпотеза, коли насправді правильної є альтернативна гіпотеза