Подставив в эту формулу числовые значения величин, найдем

c_v=2,58 кДж/(кгК).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

c_p=c_p1₁ +c_p2 ₂.

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

c_p=3,73 кДж/(кгК).

Пример 6. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества =1 моль, находится под давлением p₁ =-250 кПа и занимает объем V₁=10 л. Сначала газ изохорно нагревают до температуры T=400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД  цикла.

Решение. Для наглядности построим сначала график цикла, который состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах P, V этот цикл имеет вид, представленный на рис. 9.

Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3. Термический КПД любого цикла определяется выражением

=(Q₁-Q₂)/Q₁, или =1-Q₂/Q₁ (1),

где Q₁ - количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя; Q₂ - ко-личество теплоты, отданное газом за цикл охладителю.

Заметим, что разность количеств теплоты Q₁ и Q₂ равна работе А, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координатах P, V (рис.) изображается площадью цикла.

Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q₁ на двух участках: Q_1-2 на участке 1-2 (изохорный процесс) и Q_2-3 на участке 2-3 (изотермический процесс). Таким образом,

Q₁=Q_1-2+Q_2-3.

Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно

Q_1-2=c_v(T₂-T₁),

где c_v- молярная теплоемкость газа при постоянном объеме;

 - количество вещества. Температуру T₁ начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева:

T₁=p₁V₁/(R).

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

T₁=250010^-3/(18,31)= ЗООК.

Количество теплоты, полученное газом при изотермическом процессе, равно

где V₂ - объем, занимаемый газом при температуре T₂ и давлении P₁(точка 3 на графике).

На участке 3-1 газ отдает количество теплоты Q₃, равное

Q₂=Q_3-1=c_p(T₂-T₁),

где c_p - молярная теплоемкость газа при изобарном процессе. Подставим найденные значения Q₁ и Q₂ в формулу (1):

В полученном выражении заменим отношение объемов V₂/V₁, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур T₂/T₁ и выразим c_v и c_p через число степеней свободы молекулы(c_v=iR/2, c_p=(1+2)R/2). Тогда после сокращений получим

Подставив значения i, T₁, T₂ и R и произведя вычисления, найдем

Пример 7.

Кислород занимает объем v₁=1 м³ и находится под давлением р₁=200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V=3 м², а затем при постоянном объеме до давления p= 500 кПа. Построить график процесса и найти: 1) изменение U внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу A; 3) количество теплоты Q, переданное газу.

Рис. 10.

Решение. Построим график процесса (рис.). На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния газа, характеризуемые параметрами (p₁, V₁, Т₁,), (p₂,V₂, T₂), (p₂, V₂, T₃).

1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из состояния 1 в состояние 3 выражается формулой

U=c_vmT.

где с_v - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме: m - масса газа; Т — разность температур, соответствующих конечному 3 и начальному 1 состояниям газа, т. е.T=T₃-T₁. Так как

где  — молярная масса газа, то

Температуры T₁ и T₃ выразим из уравнения Менделеева - Клапейрона:

С учетом этого получаем:

Подставим сюда значения величин (учтем, что для кислорода, как двухатомного газа, i= 5) и произведем вычисления:

U=3,25 МДж .

2. Полная работа, совершаемая газом, равна

А =A₁+A₂;

где А₁ - работа на участке 1-2; А₂ - работа на участке 2-3.

На участке 1-2 давление постоянно (р=const). Работа в этом случае выражается формулой

A₁=p₁(V₂-V₁).

На участке 2-3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (А₂= 0). Таким образом,

A=A₁= р(V₂-V₁).

Подставив в эту формулу значения физических величин, произведем вычисления:

А=0,4 МДж .

3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и изменению U внутренней энергии:

Q=U+A, или Q= 3,65 МДж..

Пример 8. Определить изменение S энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m=10 г от объема v₁=25 л до объема V₁= 100 л.

Решение. Так как процесс изотермический, то в общем, выражении энтропии

температуру выносим за знак интеграла. Выполнив это, получим

(1)

Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q=А+U. Для изотермического процесса U=0, следовательно,

Q=А, (2)

а работа А для этого процесса определяется по формуле:

А=(m/)RТlп(V₂/V₁). (3)

С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид

S=(m/) R1п (V₂/V₁). (4)

Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, получим

S= (1010-³/(3210-^:3)) 8,31 ln(10010^-3 /(2510^-3)) Дж /К=3,60 Дж/К.

Пример 9. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром d=10 см. Определить также работу A, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь.

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

р =22r,

где r - радиус пузыря. Так как r=d/2, то

р=8/d.

Подставив в эту формулу значения =4010³ Н/м , d=0,1 м и произведя вычисления, найдем

p=3,2 Па.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на S, выражается формулой

A=S, или A=(S-S₀).

В данном случае S - общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; Sо - общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S_о, получим

AS=2d² .