Уравнение состояния идеального газа.

Уравнение, связывающее между собой параметры состояния любой системы, называется уравнением состояния системы. Основными параметрами состояния идеального газа являются его давление р, температура Т, объем V. Уравнение состояния идеального газа или уравнение Клапейрона-Менделеева имеет следующий вид:

PV=RT ,

где - количество вещества, =m/=N/N_a, m- масса газа, - молярная масса газа, N- число молекул газа в объеме V, N_a- число Авогадро ; R – универсальная газовая постоянная.

Эквивалентные уравнения:

p=nkT , p=RT/

где n – концентрация молекул газа, n=N/V; k=R/N_a - постоянная Больцмана,  - плотность газа.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

У равнение, устанавливающее связь между молекулярными величинами и величиной давления, характеризующего газ как целое, и непосредственно измеряемое на опыте, называют основным уравнением молекулярно-кинетической теории газов. Оно имеет эквивалентные формы

где p – давление газа; n – концентрация; m_o – масса молекулы; v_кв – средняя квадратичная скорость молекулы; Е_к_пост - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы; Т – температура газа. Последнее уравнение определяет температуру, как количественную меру средней кинетической энергии поступательного движения молекулы. Данное положение можно считать точным определением температуры в молекулярно-кинетической теории.

Распределение молекул по скоростям и энергиям.

Тепловое хаотическое движение молекул и атомов приводит к тому, что их скорости могут принимать различные значения. Благодаря беспорядочным движениям и взаимным столкновениям молекулы и атомы газа некоторым образом распределяются по скоростям и энергиям. Их распределение задаётся законами теории вероятности и математической статистики.

Вероятность того,что скорости dN молекул будут лежать в интервале от v до v+dv определяется следующим выражением:

,

где N – полное число молекул, f(v) – функция распределения по скоростям, она была получена Максвеллом и имеет следующий вид:

График данной функции имеет вид (рис. 1)

dN/N

v₁

v₂

Рис. 1

Величина dN/N – вероятность (относительное число молекул) или часть молекул, имеющих скорости в заданном интервале от v до v+dv. Вероятность отнесенная к элементарному объему dV (dN/(NdV)) - определяет число молекул, скорости которых лежат в единичном интервале скоростей, выбранном около рассматриваемой скорости. Данная величина называется плотностью вероят-ности.

Функция Максвелла удовлетворяет следующему условию нормировки:

Тогда, число молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v+dv определяется уравнением:

.

Тогда выделенная на графике площадь численно равна даному числу молекул

если интервал скоростей vv, где v – скорость, около которой выбран интервал v, то

Скорость молекул газа.

Скорость, соответствующая максимуму функции Максвелла называется наиболее вероятной. Эта скорость, вблизи которой на единичном интервале скоростей приходится наибольшее число молекул. Исследуя функцию на максимум, получаем выражение для v_в

Используя функцию Максвелла. и математическое определение среднего значения некоторой величины х, нормированной на единицу можно определить среднюю арифметическую скорость движения молекул:

тогда средняя арифметическая скорость определяется по формуле:

Средняя квадратичная скорость может быть определена из основного уравнения молекулярно-кинетической теории в следующем виде:

откуда

Во всех выражениях m₀=/N_a – масса молекулы газа.