4. Розв’язати рівняння

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. У ящику містяться 3 латунні (Л), 3 сталеві (С) і 1 бронзова (Б) деталь. Беруть 2 деталі. Визначити:

5. простір елементарних подій

6. множину елементарних подій яка утворює з подіями повну групу, якщо — елементарні події, позначені згідно з матеріалом деталей.

2. За підсумком року акції десяти фірм мали прибуток, чотирьох фірм знецінились, а акції шести фірм — зберегли свою номінальну вартість. Яка ймовірність того, що випадково куплені шість акцій різних фірм матимуть прибуток?

3. Першість області з баскетболу виборюють 18 команд, які жеребкуванням поділяються на дві групи, по 9 команд у кожній. 5 команд зазвичай займають перші місця. Яка ймовірність потрапляння всіх лідируючих команд в одну групу? Яка ймовірність потрапляння двох лідируючих команд в одну групу і трьох — в іншу?

4. 3 двадцяти пісень, трансльованих на українському радіо, 12 є російськомовними. Яка ймовірність того, що слухач передачі з перших п’яти прослуханих пісень мав нагоду чути тільки російську мову?

5. На колі радіуса R навмання взято дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не перевищує r(r ≤ 2R)?

6. Облік щодо використання запасних частин показав, що в разі ремонту двигуна деталь № 1 замінювалась у середньому у 35 % випадків, деталь № 2 — у 30 % випадків, а обидві деталі одночасно замінювались у 28 % випадків. Знайти ймовірність того, що у двигуні, який надійшов у ремонт, замінюватиметься деталь № 2 за умови, що деталь № 1 замінено, і навпаки.

7. Частка 2-го сорту деякої масової продукції в середньому становить 20 %. Навмання взято 100 примірників цієї продукції. Яка кількість виробів 2-го сорту в утвореній групі найімовірніша і яка ймовірність того, що в цій групі буде саме така кількість виробів 2-го сорту?

8. Частка 1-го сорту в деякій продукції в середньому становить 80 %. Скільки примірників цієї продукції треба взяти, щоб з імовірністю 0,9 можна було стверджувати, що в партії буде не менш як 75 примірників 1-го сорту?

ВАРІАНТ 12

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Дано комплексні числа z₁=-1+6i та z₂=2+5i. Знайти суму z₁+z₂, різницю z₂-z₁, добуток z₁z₂ і частку z₂/z₁.

2. Обчислити:і²⁵

3. Розв’язати рівняння: .

4. Знайти координати точки М, що зображує комплексне число

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція спадає.

2. Знайти область визначення функції .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

5. Знайти границю функції .

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Який характер має розрив функції в точці х=0?

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х³ у точці М(1;1).

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

1. Визначити вершини і кути трикутника, сторони якого задано рівняннями: .

2. Знайти визначники другого порядку: .

3. Обчислити визначник .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. На осі ординат знайти точки, що віддалені від точки на відстані 5 одиниць.

2. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60 до прямої .

3. Скласти рівняння кола, що проходить через три задані точки: .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Як перетвориться рівняння кола , якщо перенести початок системи координат у точку .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що мала піввісь дорівнює 3 одиницям, а ексцентриситет .

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Знайдіть кут між площинами і .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку:

4. Розв’язати рівняння при

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. У ящику містяться 3 латунні (Л), 3 сталеві (С) і 1 бронзова (Б) деталь. Беруть 2 деталі. Визначити:

7. простір елементарних подій

8. множину елементарних подій яка утворює з подіями повну групу, якщо — елементарні події, позначені згідно з матеріалом деталей.

2. Для молодіжної вечірки діджей заготував 20 компакт-дисків, 7 з яких з інструментальною музикою. Знайти ймовірність того, що з чотирьох навмання відібраних компактів три будуть з інструментальною музикою

3. Пасажир забув дві останні цифри коду комірки автоматичної камери схову, де він залишив речі. Знайти ймовірність того, що після першого набору коду із двома останніми навмання набраними цифрами комірка відчиниться, а також імовірність цієї ж події у випадку, коли пасажир пам’ятає, що ці цифри різні.

4. Усередині круга радіусом R навмання вибирають точку. Знайти ймовірність того, що точка потрапить усередину:

3. вписаного у круг квадрата;

4. вписаного у круг правильного трикутника.

5. На колі радіуса R навмання взято дві точки. Яка ймовірність того, що відстань між ними не перевищує r(r ≤ 2R)?

6. Облік щодо використання запасних частин показав, що в разі ремонту двигуна деталь № 1 замінювалась у середньому у 35 % випадків, деталь № 2 — у 30 % випадків, а обидві деталі одночасно замінювались у 28 % випадків. Знайти ймовірність того, що у двигуні, який надійшов у ремонт, замінюватиметься деталь № 2 за умови, що деталь № 1 замінено, і навпаки.

7. Для забезпечення роботи на деякому будівельному об’єкті автопідприємство має 6 автомобілів. Імовірність виходу кожного автомобіля на лінію в першу зміну дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи автопідприємства, якщо для цього в першу зміну потрібно мати на лінії не менш як 4 автомобілі.

8. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі виробу у складі двох інженерів і п’яти маркетологів. Яка імовірність того, що команда такого складу буде створена, якщо з групи 13 інженерів і шести маркетологів вибрати навмання 7 осіб?

ВАРІАНТ 13

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Знайти суму, різницю, добуток, частку двох комплексних чисел (5+4і) та (-2+3і).

2. Знайти модуль і аргумент числа

3. Розв’язати рівняння:

4. Знайти число спряжене з числом

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція зростає.

2. Знайти область визначення функції .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Знайти точки розриву функції .

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. Знаючи координати двох протилежних вершин ромба та і довжину сторони АВ = 10, визначити координати решти вершин.

2. Знайти визначники другого порядку: ;

3. Розкладаючи за третім рядком, обчислити визначник: .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Обчислити довжину медіан трикутника АВС, якщо .

2. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60 до прямої .

3. Знайти відстані точок від прямої .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола .

2. Знаючи рівняння асимптот гіперболи і одну з точок на гіперболі , скласти рівняння гіперболи.

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Знайти рівняння площини, що проходить через точки і .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: при

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку: