4. Розв’язати рівняння

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. Скільки подій можна утворити над простором елементарних подій що містить 8 елементарних подій, розглядаючи ті, які складаються не менш як із двох елементарних подій?

2. На складі є 10 кінескопів заводу № 1 і вісім кінескопів заводу № 2. Навмання взято чотири кінескопи. Знайти ймовірність того, що серед них два кінескопи заводу № 1 і два кінескопи заводу № 2.

3. Серед 30 видів акцій будівельних організацій 19 стали прибутковими, 5 — збитковими, а 6 залишилися без змін. Яка ймовірність того, що серед п’яти навмання придбаних акцій різних видів прибутковими виявляться три?

4. Студент підготував на залік 36 питань із 42. Знайти ймовірність того, що він складе залік за першим разом, якщо для цього достатньо правильно відповісти на три навмання витягнуті питання (кожне із 42 питань надруковане на окремій картці).

5. У разі масового виготовлення виробів брак становить у середньому 1,5 % загальної кількості всіх виробів. З-поміж придатних виробів 85,3 % становлять вироби 1-го сорту. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб належить до 1-го сорту.

6. На конвеєр надходять деталі від трьох автоматів. Перший дає 90 %, другий — 93 %, а третій — 95 % придатної продукції. Протягом зміни від першого автомата надходить 60, від другого — 50, від третього — 40 деталей. Знайти ймовірність потрапляння на конвеєр:1) нестандартної деталі; 2)стандартної деталі.

7. Посівний фонд містить 92 % насіння 1-го сорту. Навмання взято 150 зерен. Знайти ймовірність того, що серед них 140 зерен 1-го сорту.

8. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі виробу у складі двох інженерів і п’яти маркетологів. Яка імовірність того, що команда такого складу буде створена, якщо з групи 13 інженерів і шести маркетологів вибрати навмання 7 осіб?

ВАРІАНТ 23

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії

2. Обчислити:і¹⁵

3. Розв’язати рівняння:

4. Знайти координати точки М, що зображує комплексне число

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція дорівнює нулю.

2. Графічно розв’язати рівняння .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Знайти точки розриву функції .

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х2 у точках М1(½; ¼), М2(–1; 1).

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку:

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. На осі ординат знайти точку, рівновіддалену від початку координат і прямої .

2. Знайти визначники третього порядку: .

3. Обчислити визначник .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Знайти вершини трикутника, знаючи середини його сторін .

2. Визначити вершини і кути трикутника, сторони якого задано рівняннями: .

3. Знайти відстань між прямими і .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що мала піввісь дорівнює 3 одиницям, а ексцентриситет .

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Обчислити відстані точки до площини .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: при

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння: при

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку:

4. Розв’язати рівняння при

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. Скільки подій можна утворити над простором елементарних подій що містить 8 елементарних подій, розглядаючи ті, які складаються не менш як із двох елементарних подій?

2. Партія електролампочок складається з 10 придатних і п’яти бракованих. Із партії навмання по одній беруть усі лампочки. Знайти ймовірність того, що останньою буде взято придатну.

3. В кафе на початок зміни було 5 упаковок кави «Jacobs», 6 — «Nescafe», 8 — «Галка». Попит на кожний із цих видів кави був однаковий. За зміну було продано п’ять упаковок. Яка імовірність того, що вся кава «ГАЛКА» залишилася невитраченою?

4. Світлана і Василь домовилися зустрічати Новий рік у компанії чисельністю 10 осіб. Вони дуже хотіли сидіти за святковим столом поруч. Яка ймовірність виконання цього бажання, якщо в їхній компанії є звичай розподіляти місця жеребкуванням.

5. Контролер перевіряє партію з двох деталей 1-го сорту, двох 2-го сорту і трьох — 3-го сорту. Деталі беруть по одній навмання без повернення. Знайти ймовірність того, що деталь 1-го сорту з’явиться раніше за деталь 3-го сорту.

6. На конвеєр надходять деталі від трьох автоматів. Перший дає 90 %, другий — 93 %, а третій — 95 % придатної продукції. Протягом зміни від першого автомата надходить 60, від другого — 50, від третього — 40 деталей. Знайти ймовірність потрапляння на конвеєр:1) нестандартної деталі; 2)стандартної деталі.

7. Імовірність виграшу облігації за весь період позики становить 0,6. Куплено 5 облігацій. Знайти ймовірність такої події:

7. виграють дві облігації;

8. виграш випаде принаймні на одну облігацію;

9. виграють не більш як дві облігації.

8. Серед 20 телевізорів фірми «СОНІ» 14 мають систему дистанційного керування. Яка ймовірність того, що серед п’яти випадково відібраних телевізорів три матимуть цю систему?

ВАРІАНТ 24

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Дано комплексні числа z₁=-1+6i та z₂=2+5i. Знайти суму z₁+z₂, різницю z₂-z₁, добуток z₁z₂ і частку z₂/z₁.

2. Побудувати на числовій площині та знайти модуль комплексного числа (-1+8і).

3. Розв’язати рівняння:

4. Знайти число спряжене з числом

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція додатна.

2. Знайти область визначення функції .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Знайти точки розриву функції .

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х³ у точці М(1;1).

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку:

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60 до прямої .

2. Знайти визначники третього порядку: .

3. Обчислити визначник .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

2. Дано три вершини паралелограма: Знайти координати четвертої вершини , що протилежна вершині В.

3. Визначте центр і радіус кола, що задане рівнянням: .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Скласти рівняння дотичної до кола в точці .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що велика піввісь дорівнює 10 одиницям, а ексцентриситет .

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Обчислити відстань між площинами і .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку: