4. Розв’язати рівняння

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. Прилад складається з двох блоків 1-го типу і трьох блоків 2-го типу. Події означають, що працює -й блок 1-го типу, а події — працює -й блок 2-го типу. Прилад працює, якщо працює принаймні один блок першого типу і не менш як два блоки 2-го типу. Виразити подію С — «прилад працює» через події .

2. Для молодіжної вечірки діджей заготував 20 компакт-дисків, 7 з яких з інструментальною музикою. Знайти ймовірність того, що з чотирьох навмання відібраних компактів три будуть з інструментальною музикою

3. Серед 30 видів акцій будівельних організацій 19 стали прибутковими, 5 — збитковими, а 6 залишилися без змін. Яка ймовірність того, що серед п’яти навмання придбаних акцій різних видів прибутковими виявляться три?

4. У контейнері є 20 деталей, серед яких 8 нестандартних. Знайти ймовірність того, що число нестандартних деталей серед п’яти навмання взятих деталей виявиться рівним: а) 0; б) 2; в) 5.

5. Навмання взято два додатні числа x і y, кожне з яких не перевищує 2, знайти ймовірність того, що добуток xy буде більшим від 1, а частка y/x — не більша від 2.

6. Імовірність того, що питання в екзаменаційному білеті стандартне, дорівнює 0,95. Знайти ймовірність того, що з двох питань тільки одне стандартне.

7. Яку частку (у відсотках) виробів 1-го сорту має виробляти автомат, щоб у партії із 100 навмання взятих виробів найімовірніша кількість виробів 1-го сорту дорівнювала 80?

8. Частка 1-го сорту в деякій продукції в середньому становить 80 %. Скільки примірників цієї продукції треба взяти, щоб з імовірністю 0,9 можна було стверджувати, що в партії буде не менш як 75 примірників 1-го сорту?

ВАРІАНТ 17

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії

2. Знайти модуль і аргумент числа

3. Розв’язати рівняння: .

4. Знайти число спряжене з числом

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція спадає.

2. Знайти область визначення функції .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Знайти точки розриву функції .

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х2 у точках М1(½; ¼), М2(–1; 1).

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. Дано вершини трикутника . Визначити довжини його сторін.

2. Знайти визначники другого порядку: ;

3. Розкладаючи за третім рядком, обчислити визначник: .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Обчислити периметр і площу трикутника за координатами його вершин: і

2. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60 до прямої .

3. Знайти відстані точок від прямої .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що мала піввісь дорівнює 3 одиницям, а ексцентриситет .

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Через точку проведено площину перпендикулярно до . Написати її рівняння.

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти частинний розв’язок однорідного диференціального рівняння: при

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку:

4. Розв’язати рівняння при

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. Робітник виготовив n деталей. Нехай подія полягає в тому, що i-та деталь має дефект. Записати такі події:

1. жодна з деталей не має дефектів;

2. принаймні одна деталь має дефект;

3. лише одна деталь має дефект.

2. У конверті 10 акцій, серед яких три фірми А. Навмання відібрано 4 акції. Яка імовірність того, що серед них буде одна акція фірми А?

3. В кафе на початок зміни було 5 упаковок кави «Jacobs», 6 — «Nescafe», 8 — «Галка». Попит на кожний із цих видів кави був однаковий. За зміну було продано п’ять упаковок. Яка імовірність того, що вся кава «ГАЛКА» залишилася невитраченою?

4. Світлана і Василь домовилися зустрічати Новий рік у компанії чисельністю 10 осіб. Вони дуже хотіли сидіти за святковим столом поруч. Яка ймовірність виконання цього бажання, якщо в їхній компанії є звичай розподіляти місця жеребкуванням.

5. Навмання взято два додатні числа x і y, кожне з яких не перевищує 2, знайти ймовірність того, що добуток xy буде більшим від 1, а частка y/x — не більша від 2.

6. Імовірність того, що питання в екзаменаційному білеті стандартне, дорівнює 0,95. Знайти ймовірність того, що з двох питань тільки одне стандартне.

7. Деталі на конвеєр надходять із двох автоматів. Від першого — 60 %, від другого — 40 %. Перший автомат дає 2 %, а другий — 1 % браку. Деталь, яка надійшла на конвеєр, виявилась стандартною. Знайти ймовірність того, що цю деталь виготовлено: 1) першим автоматом; 2) другим автоматом.

8. Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі виробу у складі двох інженерів і п’яти маркетологів. Яка імовірність того, що команда такого складу буде створена, якщо з групи 13 інженерів і шести маркетологів вибрати навмання 7 осіб?

ВАРІАНТ 18

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії (12-і)-(-3+і)

2. В якій чверті розміщене комплексне число -2-3і

3. Розв’язати рівняння: .

4. Знайти координати точки М, що зображує комплексне число

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція зростає.

2. Знайти область визначення функції .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Знайти точки розриву функції .

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

2. Знайти визначники третього порядку:

3. Розкладаючи за другим стовпчиком, обчислити визначник: .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Знайти вершини трикутника, знаючи середини його сторін .

2. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60 до прямої .

3. Скласти рівняння кола, що проходить через три задані точки: .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Як перетвориться рівняння кола , якщо перенести початок системи координат у точку .

2. Знаючи рівняння асимптот гіперболи і одну з точок на гіперболі , скласти рівняння гіперболи.

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Знайдіть кут між площинами і .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку: