4. Розв’язати рівняння

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. Партія складається зі стандартних і нестандартних деталей, які ретельно перемішані. З неї навмання беруть дві деталі. Визначити:

5. простір елементарних подій;

6. множини елементарних подій для таких подій:

а)  — поява однієї стандартної і однієї нестандартної деталей;

б)  — поява не менш як однієї стандартної деталі;

в)  — поява не більш як однієї стандартної деталі.

2. За підсумком року акції десяти фірм мали прибуток, чотирьох фірм знецінились, а акції шести фірм — зберегли свою номінальну вартість. Яка ймовірність того, що випадково куплені шість акцій різних фірм матимуть прибуток?

3. Академічній групі, в якій 12 дівчат та 18 юнаків, запропоновано придбати 10 акцій банку «Надра». Знайти ймовірність того, що власниками акцій стануть 4 юнаки та 3 дівчини, якщо розігрування здійснюється випадковим чином.

4. Із шести літер розрізної абетки складено слово «книжка». Маленький хлопчик змішав літери, а потім навмання їх зібрав. Яка ймовірність того, що він знову дістав те саме слово?

5. У коло радіуса 10 кидають точку. Знайти ймовірність того, що відстань від точки до центра кола не перевищує 4.

6. Маємо дві партії деталей. У першій партії сім придатних і три браковані деталі. У другій — 10 придатних і чотири браковані. Із кожної партії навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність такої події:

1. обидві деталі придатні;

2. обидві деталі браковані;

3. одна деталь придатна, а друга бракована.

7. Для забезпечення роботи на деякому будівельному об’єкті автопідприємство має 6 автомобілів. Імовірність виходу кожного автомобіля на лінію в першу зміну дорівнює 0,8. Знайти ймовірність нормальної роботи автопідприємства, якщо для цього в першу зміну потрібно мати на лінії не менш як 4 автомобілі.

8. Серед 20 телевізорів фірми «СОНІ» 14 мають систему дистанційного керування. Яка ймовірність того, що серед п’яти випадково відібраних телевізорів три матимуть цю систему?

ВАРІАНТ 4

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Дано комплексні числа z₁=-1+6i та z₂=2+5i. Знайти суму z₁+z₂, різницю z₂-z₁, добуток z₁z₂ і частку z₂/z₁.

2. Побудувати на числовій площині та знайти модуль комплексного числа (-2+5і).

3. Розв’язати рівняння: .

4. Знайти координати точки М, що зображує комплексне число

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція додатна.

2. Знайти область визначення функції .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Який характер має розрив функції в точці х=0?

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Нехай — рівняння вільного руху тіла, g — прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який момент часу; у момент часу t = 2 c.

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. Написати рівняння прямої, що проходить через початок системи координат і: 1) паралельна прямій ; 2) перпендику­лярна прямій ; 3) утворює кут, що дорівнює 45, з прямою ; 4) нахилена під кутом в 60 до прямої .

2. Знайти визначники другого порядку: .

3. Обчислити визначник .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Дано вершини трикутника . Визначити довжини його сторін.

2. Дано три вершини паралелограма: Знайти координати четвертої вершини , що протилежна вершині В.

3. Скласти рівняння кола, що проходить через три задані точки: .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола

2. Знайти кут між асимптотами гіперболи, у якої ексцентриситет дорівнює 2.

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Написати рівняння площини, що проходить через точку і перпендикулярна до площин і .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при . (Задача Коші.)

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: при

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку:

4. Розв’язати рівняння при

Практична робота 17

Дії над ймовірностями.

1. Партія складається зі стандартних і нестандартних деталей, які ретельно перемішані. З неї навмання беруть дві деталі. Визначити:

7. простір елементарних подій;

8. множини елементарних подій для таких подій:

а)  — поява однієї стандартної і однієї нестандартної деталей;

б)  — поява не менш як однієї стандартної деталі;

в)  — поява не більш як однієї стандартної деталі.

2. У партії із 16 деталей чотири нестандартні. Навмання з поверненням беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед них дві деталі будуть стандартними.

3. У шухляді є вісім однотипних деталей, три з яких браковані (решта — стандартні). Навмання з шухляди беруть три деталі. Знайти імовірність подій А_і де і — число бракованих деталей серед взятих (і = 0, 1, 2, 3).

4. Стержень завдовжки розрубують на дві частини. Знайти ймовірність того, що менша з частин, на які він поділяється, має довжину не менш як

5. У коло радіуса 10 кидають точку. Знайти ймовірність того, що відстань від точки до центра кола не перевищує 4.

6. Маємо дві партії деталей. У першій партії сім придатних і три браковані деталі. У другій — 10 придатних і чотири браковані. Із кожної партії навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність такої події:

4. обидві деталі придатні;

5. обидві деталі браковані;

6. одна деталь придатна, а друга бракована.

7. Яку частку (у відсотках) виробів 1-го сорту має виробляти автомат, щоб у партії із 100 навмання взятих виробів найімовірніша кількість виробів 1-го сорту дорівнювала 80?

8. У папці є 8 відомостей, сформованих одним бухгалтером, і 12 відомостей — другим. Навмання беруться три відомості. Знайти ймовірність того, що: 1) всі три відомості сформовано другим бухгалтером; 2) відомостей, сформованих другим бухгалтером, виявиться більше, ніж сформованих першим.

ВАРІАНТ 5

Практична робота 1.

Дії над комплексними числами.

1. Дано комплексні числа z₁=-1+6i та z₂=2+5i. Знайти суму z₁+z₂, різницю z₂-z₁, добуток z₁z₂ і частку z₂/z₁.

2. Обчислити: і¹⁶

3. Розв’язати рівняння:.

4. Знайти число спряжене з числом

Практична робота 2

Дії над комплексними числами.

1. Виконати дії в алгебраїчній формі. Результат записати в тригонометричній та показникових формах .

Практична робота 3

Знаходження границь.

1. Функцію задано графіком, зображеним на рисунку:

Визначити при яких значеннях х функція зростає.

2. Графічно розв’язати рівняння .

3.Знайти границю функції .

4. Знайти границю функції .

5. Знайти границю функції .

Практична робота 4

Перша та друга визначні границі.

1. Знайти границю функції .

2. Знайти границю функції .

3. Знайти точки розриву функції .

Практична робота 5

Похідна, диференціал суми, добутку, частки, складеної та оберненої функції.

1. Задана функція у = f(x). Знайти у.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

2. Знайти похідну другого порядку: .

3. Написати рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х³ у точці М(1;1).

Практична робота 6

Похідна. Схема повного дослідження і побудови графіка функції.

1. Визначити екстремуми функції: .

2. Знайти найбільше і найменше значення функції у заданому проміжку: .

3. Знайти точки перегину та інтервали опуклості і вгнутості графіку функції: .

4. Знайти асимптоти таких ліній: .

5. Провести повне дослідження функції і накреслити її графік: .

Практична робота 7

Невизначений інтеграл.

1. Розклавши підінтегральні функції за формулою , знайти такі інтеграли: а) ; б) .

2. Безпосереднім інтегруванням знайти інтеграл: .

3. Знайти інтеграл: .

4. Інтегруванням частинами знайти інтеграл:

5. Методом підстановки знайти інтеграл:

Практична робота 8

Визначений інтеграл.

1. Використовуючи метод підстановки, обчислити визначений інтеграл:

2. Інтегруванням частинами обчислити визначений інтеграл:

3. За допомогою визначеного інтегралу обчислити площу фігури, що обмежено лініями:

Практична робота 9

Дії на векторами. Дії над матрицями.

1. Рівняння бічних сторін рівнобедреного трикутника — та . Скласти рівняння третьої сторони, якщо вона проходить через початок системи координат.

2. Знайти визначники другого порядку: .

3. Розкладаючи за третім рядком, обчислити визначник: .

4. Знайти добутки матриць: .

5. Знайти обернені до таких матриць: .

Практична робота 10

Дії над матрицями. Розв'язування систем лінійних рівнянь.

1. Розв’язати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера. У разі залежності коефіцієнтів системи рівнянь від параметрів дослідити систему на сумісність.

2. Звести до матричного вигляду систему рівнянь і розв’язати методом оберненої матриці:

Практична робота 11

Система координат. Пряма та площина.

1. Довести, що трикутник з вершинами прямокутний.

2. У трикутнику з вершинами проведені висота і медіана Написати рівняння сторони АС, медіани ВМ і висоти .

3. Знайти відстані точок від прямої .

Практична робота 12

Загальне рівняння кривої другого порядку.

1. Звести до канонічного вигляду рівняння кола .

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що півосі його дорівнюють 4 і 2 одиницям.

3. Визначити тип кривої другого порядку: .

4. Написати рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі: і .

Практична робота 13

Дії з рядами.

1. Запишіть три перші члени ряду, а також

2. Запишіть найпростішу формулу n-го члена ряду та перевірте виконання необхідної умови збіжності ряду:

3. Перевірте виконання необхідної умову збіжності ряду:

Практична робота 14

Дії з рядами.

1. Дослідити збіжність ряду, користуючись безпосередньо означенням збіжності ряду. Знайти суму ряду:

2. За допомогою ознак порівняння дослідити збіжність ряду:

3. Дослідити збіжність ряду за допомогою ознаки Даламбера:

Практична робота 15

Розв'язування диференційних рівнянь першого порядку

1. Розв’язати диференційне рівняння першого порядку:

2. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь, що задовольняють задані початкові умови: при

3. Знайти частинні розв’язки диференціального рівнянь: , при .

Практична робота 16

Розв'язування однорідних диференційних рівнянь

1. Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння:

2. Розв’язати диференціальне рівняння в повних диференціалах:

3. Розв’язати диференціальне рівняння першого порядку: