Задача 2.3

2.3.1 Прибор, установленный на борту самолета , может работать в двух режимах : в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке . Крейсерский режим полета осуществляется в 80 % всего времени полета , условие перегрузки в 20 % . Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки -0,4 . Вычислить надежность прибора за время полета.

2.3.2 Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов из 30 , Сидоров плохо занимался весь семестр и успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 билетов. По прошествии отведенного времени на подготовку экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов . Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85 , а при незнании билета можно сдать экзамен с вероятностью 0,1?

2.3.3 Три стрелка, вероятность попадания которых при одном выстреле в мишень в неизменных условиях постоянна и соответственно равна =0,8; =0,7; =0,6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события А={в мишени окажется ровно две пробоины}, приняв в качестве гипотез элементарные исходы этого эксперимента.

2.3.4 Ha вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 поступает смесь полезного сигнала с помехой , а с вероятностью 0,2 - только помеха . Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7; если только помеха , то с вероятностью 0,3 . Известно , что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сигнал.

2.3.5 Противотанковая батарея состоит из 10 орудий, причем для первой группы из шести орудий вероятности того , что при одном выстреле , произойдет недолет , попадание или перелет, равны соответственно 0,1 ; 0,7 ; 0,2 . Для каждого из остальных четырех орудий вероятности тех же самых событий равны соответственно 0,2 ; 0,6 и 0,2 . Наудачу выбранное орудие произвело три выстрела по цели, в результате чего было зафиксировано одно попадание, один недолет и один перелет . Какова вероятность того , что стрелявшее орудие принадлежит первой группе ?

2.3.6 В группе из 25 человек , пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей , имеется 10 отличников , 7 подготовленных хорошо, 5 - удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены . Отличники знают все 25 вопросов , хорошо подготовленные - 20 , подготовленные удовлетворительно - 15, и плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов . Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти вероятность следующих событий : ={студент подготовлен отлично или хорошо}, S₂= {студент подготовлен удовлетворительно}, ={студент подготовлен плохо}.

2.3.7 С первого автомата поступает на сборку 0,1 % бракованных деталей, со второго-0,2 % , с третьего - 0Д5 % , с четвертого - 0,5 % . Производительности их относятся как 4:3:2:1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена : а) на первом ; б) на втором ; в) на третьем ; г) на четвертом автомате . Как проверить правильность вычислений .

2.3.8 С первого автомата поступает на сборку 80 % , со второго - 20 % таких деталей . На первом автомате брак составляет 1 % , на втором - 4 % . Две проверенные детали , изготовленные одним и тем же автоматом ,оказались бракованными. Найти вероятность того, что эти детали заготовлены: а) на первом ; б) па втором автомате.

2.3.9 Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%,причем среда забракованной по признаку А продукция в 10 % случаев встречается дефект В, а в продукции свободной от дефекта А , дефект В встречается в 1 % случаев . Найти вероятность не встретить дефект В во всей продукции.

2.3.10 С первого автомата на сборку поступает 40 % , со второго - 30%, с третьего - 20 % , с четвертого - 10% деталей. Среди деталей первого автомата 0,1 %' бракованных, второго - 0,2 % ," третьего - 0,25 % , четвертого - 0,5 % . Найти вероятность того , что поступившая на сборку деталь бракованная.

2.3.11 Обследовано 200 пар отцов с сыновьями с целью проверки, имеется ли зависимость между их профессиями. Среди них оказалось: 40 отцов и 50 сыновей, имеющих некоторую профессию М ,25 сыновей, профессия которых совпадает с профессией отца (относительно профессии, M). Найти вероятность того, что: а) у отца занимающегося профессией М, сын занимается той же профессией ; б) у отца, не занимающегося Профессией М, сын занимается профессией М.

2.3.12 Имеются две одинаковые урны, первая из которых содержит 2 черных и 3 белых шара, а вторая -2 черных и 1 белый шар. Сначала наугад выбирается одна уряд, потом из нее извлекается наугад один шар. Какова вероятность того, что будет выбран белый шар? Решите ту же задачу, исходя из условия, что обе урны содержат по два белых и по два черных шара.

2.3.13 Ученик пришел на экзамен, зная 25 билетов из 30 . Перед ним был взят только один билет. Какова вероятность того, что ученик знает наудачу вытянутый билет?

2.3.14 Имеются две одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй 6 белых и 4 черных. Наудачу выбирается урна, из нее наугад выбирается шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?

2.3.15 В группе 10 юношей, которые играют , набрасывая кольца на колышек . Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трех других - 0,5 и для остальных – 0,3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того что это кольцо было брошено юношей из первой группы?

2.3.16 В одной студенческой группе обучается 24 студента, во второй студентов и в третьей - 40 студентов. По математическому анализу получили отличные отметки студентов первой группы ,6 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад выбранный студент оказался получившим по математике оценку «отлично». Какова вероятность того, что он учится в первой группе?

2.3.17 Преподаватель экзаменует незнакомую ему группу по экзаменационным билетам, содержащим по три вопроса. Он знает, что в предыдущую сессию в этой группе было 27 успевающих студентов, из них 6 отличников, и трое неуспевающих студентов, и считает, что отличники ответят на все три вопроса с вероятностью 80%, остальные успевающие студенты - с вероятностью 60% и неуспевающие - с вероятностью 20%. Вызванный студент ответил на все три вопроса билета. Какова вероятности того, что он: а) отличник; б) успевающий студен г) неуспевающий студент?

2.3.18 Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы 8 - на 25 вопросов, 5 - на 20 вопросов и двое - на 15 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите вероятность того, этот студент : а ) подготовил все вопросы ; б) подготовил только половину вопросов.

2.3.19 Имеются 3 одинаковых урны. В первой находятся 3 белых и 4 черных шара во второй - 7 белых и 3 черных и в третей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный наудачу шар оказался черным. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны ?

2.3.20 В классе обучаются 26 девочек и 10 мальчиков. К уроку не выполнили домашнее задание 4 девочки и 3 мальчика. Наудачу вызванный ученик оказался не подготовленным, к уроку. Какова вероятность того что отвечать был вызван мальчик?

2.3.21 В продажу поступают телевизоры трёх заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10% и третьего – 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего?

2.3.22 Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех даёт а% брака, второй – в%. Для контроля отобрано деталей из первого цеха и из второго. Эти деталей смешаны в одну партию, и из неё наудачу извлекают одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

2.3.23 В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 игранных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу извлекаются ещё два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

2.3.24 Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на 2 предложенных вопроса или на один из них и на дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что Иванов успешно сдаст экзамен?

2.3.25 Студент Иванов знает только 10 из 25 экзаменационных билетов. В каком случае шансы Иванова получить знакомый билет выше: когда он подходит тянуть билет первым или вторым по счёту?