1.3 Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Из теорем сложения и умножения получается формула полной вероятности и формула Бейеса. Если события A1, A2,...,An образуют полную группу (гипотезы) и событие А, то может произойти вместе с одним из событий А, тогда

- формула полной вероятности .

Если же в результате проведения опыта зафиксировано появление события А, то переоценка вероятности гипотез равна - формула Бейеса.

Задача 1.3.1

Известно, что в партии из 600 электрических лампочек 200 изготовлены на первом заводе, 250 на втором заводе и 150 на третьем заводе. Известны также вероятности 0.97, 0.91 и 0.93 того, что лампочка окажется стандартно о качества при изготовлении ее соответственно 1,2,3 заводами. Какова вероятность, что на удачу выбранная из данной партии лампочка окажется стандартной.

Решение: Обозначим через А событие, состоящее в том , что лампочка окажется стандартной:

А - лампочка изготовлена на 1 заводе,

А - лампочка изготовлена на 2 заводе,

А - лампочка изготовлена на 3 заводе.

Известно, что РА1(А)=0,97; РА2(А)=0,91;РА3(А)=0,93.

Событие А1,А2,А3 образуют полную группу и по формуле полной вероятности находим

Задача 1.3.2

При массовом производстве некоторого изделия вероятность того, что оно окажется стандартным, равна 0 95. Для контроля производится некоторая упрощенная проверка стандартности изделия, которая дает положительный результат в 99% случаев стандартности изделии и в 3% случаев для нестандартных изделий. Какова вероятность стандартности изделий, выдержавшего упрощенную проверку?

Решение: Введем события;

А1 - изделие окажется стандартным,

А2 - изделие окажется нестандартным.

А 3 - изделие выдержит упрощенную проверку.

События A1, А2 образуют полную группу. До проверки Р(А1)=095,Р(А2)=0 05. Известно, что РА1(А)=0,99 РА2(А)=0,03. Нас интересует вероятность стандартности издания, прошедшего проверку, т.е РА(А1). По формулам Бейеса получаем

Это означает, что в среднем только 2 изделия из 1000 , успешно прошедших проверку, будут нестандартным.

1.4 Схема испытаний Бернулли (повторение опытов)

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в, каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p>1), событие наступит ровно m раз (безразлично, в какой последовательности), есть

где q=1-p.Вероятность- того, что событие наступит:

а) менее m раз:

б) более m раз:

в) не более m раз:

г) не более m раз:

Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, равна:

, где

Наивероятнейшее значение числа наступления события А при проведении n независимых повторных испытаний, вычисляется по формуле

Задача 1.4.1

Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата было равно 100?

Решение. Двойное неравенство

np-q< <np+p при p=0.97, q=0,03 и даёт

Следовательно, с одной стороны,

0,97n-0.03< 100, откуда

С другой стороны

откуда n 302.09 т.е. 102,09 .

Поэтому n= 103 , как то целое число которое заключено между 102,09 и 103.12.