1.6 Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина

Функция распределения F(x) примет значение

F(x)=P(X<x). (1.6.1)

Свойства функции распределения: F(- ) = 0; F(+ ) = 1. О < F(x) < 1; если х₂ > , to F( ) F( ).

Вероятность попадания случайной величины X в промежуток [а;b) определя­ется формулой

P(a<X<b) = F(b)-F{a). (1.6.2)

Существуют случайные величины, множество значений которых непрерывно заполняют некоторый числовой промежуток.

Если функция F(x) распределения случайной величины X непрерывна и имеет почти всюду (кроме, возможно, конечного числа точек) непрерывную производ­ную, то случайную величину X называют непрерывной, а функцию f(x) = F'(x) называют плотностью вероятности случайной величины X. Имеют место формулы:

а) б)

в) ; г) . (1.6.3)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина имеет конкретное значение, равна нулю.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число M(X), равное

(1.6.4)

Дисперсия D(x) непрерывной случайной величины X определяется по формуле

(1.6.5)

Задача 1.6.1

Прибор состоит из двух блоков, вероятность безотказной работы каждого из которых в течение времени равна 0,5. Найти ряд распределения для числа блоков, работающих, и момент t=T . Найти функ­цию распределения F(x) ДСВ X

Решение. Обозначим состояние каждого блока через (R) или (О), в зависимо­сти от того, работает он или отказал. Вероятность F(R)=P(O)=1/2. Множество всех исходов опыта Е содержит 4 элемента, вероятность каждого равна ¼, Е = {(0,0); (0,R); (R,0); (R,R)}- Случайная величина X- число работающих блоков к моменту t. Случаю (О О) соответствует значение X=0 (оба блока отказали), = Р(Х = 0) = 1/4, случаям (О R) и (R О) соответствует значение Х=1 (один блок отказал), = Р(X = 1)=1/4+1/4=1/2. Случаю (R R) соответствует зна­чение Х=2 (оба блока работают) , = Р(Х = 2) =1/4.

Ряд распределения для случайной величины Х- числа работающих блоков имеет вид

	0	1	2
	1/4	1/2	1/4

Если x 0, то F(x)=0, так как нет ни одного значения X левее нуля.

Если 0 < x 1 ,то в промежуток (- ;0) попадает одно значение Х=0, следователь­но, F(x)=P(x=0)=1/4.

Если 1 < x 2 ,то в промежуток (- ;х) попадает два значения X =0 и X=1, следо­вательно, F(x) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = ¾.

Если 2 < x ,то в промежуток (- ;x) попадают все значения X, т.е. Х=0, Х=1, Х=2. Следовательно, F(x)=1.

Получаем

Задача 1.6.2

Составить функцию распределения случайной величины, распре­деленной по биномиальному закону.

Решение. X принимает значение с вероятностями. При . При нужно найти сумму значений, попавших в промежуток от - до x, т.е. значения 0,1,2…k.

Следовательно, . При x>n, F(x)=1.

Задача 1.6.3

Случайная величина Х имеет плотность распределения, пропорциональную х при 0 и равную 0 при и .

а) Найти выражение для f(x)

б) Найти М(х), D(x), .

Решение. а) Выражение плотности распределения имеет вид

Пользуясь свойством плотности распределения, находим

откуда 1/2

б) Математическое ожидание М(Х)=

Дисперсия D(X)=

Задача 1.6.4

Задана функция распределения случайной величины X:

Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1;3).

Решение. Вероятность попадания случайной величины в интервал (1;3) по формуле (1.2) равна P(1<X<3)=F(3)-F(1)=1-1/2=1/2.