1.7 Закон больших чисел. Предельные теоремы

Теорема Чебышева. Если Х – неотрицательная случайная величина и М(Х) – её математическое ожидание, то для любой А>0 имеет место неравенство

, (1.7.1)

или . (1.7.1’)

Если случайная величина имеет дисперсию D(X), то для любого имеет место неравенство Чебышева:

, (1.7.2)

или . (1.7.2’)

Если - средняя арифметическая независимых случайных величин , k=1, … n, каждая из которых имеет и , то неравенство Чебышева принимает вид

. (1.7.3)

Для случайных величин, одинаково распределённых с и , неравенство (1.7.3) принимает вид

. (1.7.4)

Если дисперсия независимых случайных величин равномерно ограничены числом С, то следствием (1.7.2) является неравенство

. (1.7.5)

Следствием (1.7.2) является также неравенство Чебышева для случайной величины, распределенной по биноминальному закону:

, (1.7.6)

и для случайной величины, равной частности появлений события в n независимых испытаниях:

. (1.7.7)

Теорема Ляпунова. Пусть дана последовательность независимых случайных величин , k=1, … n,…, для каждой из которых существует математическое ожидание = , дисперсия = и третий центральный абсолютный момент . Если выполняется условие

(1.7.8)

то случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием М(Х)=∑ и дисперсией = .

Теорема Ляпунова относится к группе теорем, объединённых общим названием центральная предельная теорема. Одна из простых формулировок центральной предельной теоремы относится к одинаково распределённым случайным величинам: если - независимые одинаково распределённые случайные величины с математическими ожиданиями и дисперсиями , то при неограниченном увеличении их числа n закон распределения их суммы X приближается к нормальному с параметрами M(X)=na и D(X)= .

Теорема Лапласа. Пусть m – частота появлений события A в n независимых испытаниях, а p – вероятность наступления события A в отдельном испытании. При случайная величина распределена нормально с М(Х)=0 и D(X)=1, то есть

.

Приближение формулы Муавра – Лапласа следует из того, что закон распределения случайной величины при большом n близок к нормальному с плотностью вероятности .

Задача 1.7.1

Математическое ожидание скорости ветра на аэродроме равно 7 м/с. Оценить вероятность того, что скорость ветра на аэродроме а) не превзойдет 28 м/с : б) будет не менее 35 м/с.

Решение. Случайная величина Х – скорость ветра. а) по условию А – 28 м/с. Применяем неравенство (1.7.1’):

б) По условию А = 35 м/с. Применяем неравенство (1.7.1):

.

Задача 1.7.2

Средний вес детали равен 50 г, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что вес случайно выбранной из партии детали окажется в границах (49,5;50,5).

Решение. Случайная величина Х – вес детали. По условию

=50 г, =0,1 и =0,5. Неравенство 49,5<X<50,5 равносильно -0,5<X-50<0,5 , или . Поэтому применяем неравенство Чебышева (1.7.2’):

Искомая вероятность не меньше 0,6.

Задача 1.7.3

Сумма всех вкладов в некоторую сберегательную кассу составляет 20000 руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 100 руб., равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данной сберкассы?

Решение. Пусть Х – размер случайно взятого вклада ,а n – число всех вкладов. Тогда из условия задачи средний размер вклада Так как и по неравенству (1.7.1’) то Отсюда и, следовательно,

Задача 1.7.4

Ёмкость изготовляемого заводом конденсатора должна быть по техническим условиям равной 2 мкФ с разрешённым допуском 0,1 мкФ. Завод добился средней ёмкости, равной 2 мкФ с дисперсией, равной 0,004 мкФ . Какова вероятность изготовления бракованного конденсатора? Расчёт провести по неравенству Чебышева, предположив, что ёмкости конденсаторов распределены по нормальному закону с теми же параметрами.

Решение. Конденсатор будет бракованным, если отклонение ёмкости конденсатора Х от среднего значения М(Х)=2 мкФ будет по абсолютной величине болеем =0,1 мкФ. По неравенству Чебышева (1.7.2 ) имеем

а поэтому вероятность события P

Если же предположить, что значения ёмкости распределены по нормальному закону, то

Видим, что, используя значение о нормальном законе распределения, ответ получаем более точным. Неравенство же Чебышева дает грубую оценку, зато оно применимо к случайным величинам, распределенным по любому закону.