1 Методические указания к самостоятельной работе над курсом
«Теория вероятностей»
Основные формулы и теоремы
1.1 Классическое определение вероятности
Вероятность события А обозначается символом р или р(А).
П
ри
классическом определении вероятность
события А равна отношению
числа случаев m
, благоприятствующих ему из общего числа
n
равновозможных, единственно возможных
и несовместных
случаев, к числу n
, т.е.
очевидно, что число
0
P (А)
1.
Задача 1.1.1
По телевидению передано 10 снимков, из них три снимка с искажениями. Какова вероятность, что два взятых на удачу снимка: а) не имеют искажений б) оба имеют искажения? в) один имеет искажение?
Решение: Два снимка из десяти
можно выбрать n=
способами
(порядок не важен). Обозначим события:
а) Событие А- оба снимка
не .имеют искажения т.е. они выбраны из
7 качественных снимков. Это можно
сделать
способами.
Следовательно,
.б)
Событие В - оба снимка имёю искажения,
т.е. они взяты .из трех некачественных
. Получим
,
откуда
.
в) Событие С - один
имеет искажение и один не имеет искажение,
т.е. один снимок взят из 3 , а 1 - из 7.
По правилу произведения это можно
сделать
способами, поэтому
Задача 1.1.2
а)Сколько различных трехзначных чисел можно записать при помощи цифр 1; 2? б)Найти вероятность, что записано число 121. (Событие А).
Решение: а) Трехзначные
числа - упорядоченные тройки элементов,
образованные из цифр 1 и 2, размещения с
повторениями из двух элементов по 3. Их
число
б)
Событию А благоприятствует один исход
m=1. Поэтому
.
1.2 Теоремы сложения и умножения вероятностей
Непосредственный подсчет вероятности, основанный на построении полной группы событий, практически редко может быть осуществлен. Поэтому основной задачей теории является рассмотрение различных теорем, с помощью которых вероятности одних событий определяются по вероятностям других событий. Важнейшие из них - теоремы сложения и умножения. Условная вероятность события А относительно события В равна:
(1.2.1)
Выражение (1.2.1) получило название теоремы умножения вероятностей.
В
случае произведения более чем двух
событий теорема умножения
вероятностей принимает вид
События
независимы
в
совокупности,
если
(1.2.2)
Теорема сложения
вероятностей:
если
события
попарно
несовместимы, то вероятность суммы
событий равна сумме вероятностей
этих событий:
(1.2.3)
Е
сли
несовместные события образуют полную
группу, то сумма
вероятностей этих событий равна 1. В
частности, для двух, противоположных
событий Аи имеет
место равенство
,
и поэтому
вероятность противоположного события
вычисляется по формуле
Если события совместны, то формулы для вероятности суммы этих событий усложняются. Например, вероятность суммы двух местных событий равна
,
а вероятность суммы трех совместных
событий
Задача 1.2.1
Из коробки, содержащей 5 красных и 3 черных шариковых ручки, извлекают 2 ручки. Найти вероятность того, что: а) обе ручки красные. 6) ручки разных цветов. Рассмотреть 2 случая: 1) извлеченная первой ручка не возвращается в коробку; 2) извлеченная первой ручка возвращается в коробку перед извлечением второй.
Решение. Введём обозначения для событий: А - обе ручки красного цвета; В - ручки разных цветов. Следует определить Р(А) и Р(В)
Введём события, связанные с извлечением
одной ручки: А1-первая ручка: красная;
-
первая ручка чёрная, А2 - вторая ручка
красная;
вторая ручка черная. Тогда
и
.
Применяем формулы (1.2.1) и (1.2.3).
В данном случае события
и
несовместны.
1 случай.
Так как после наступления
ручка
не возвращается, то в коробке окажется
7 ручек. Из которых 4 красных и
поэтому
2 случай.
(так как после наступления
ручка
возвращена в коробку).
а)
.
б)
.
Задача 1.2.2
Прибор собирается последовательно четырьмя рабочими. Независимо от остальных 1-й может допустить брак вероятностью 0,1,2-й и 3-й - с вероятностью 0,09, а 4-й -0,15. Готовый прибор относится к I сорту, если ни один рабочий не допустил брак, ко II, если брак допущен 2-м или 3-м рабочим, к III сорту, если брак допустили 1 -й или 4-й рабочие и признаётся негодным в остальных случаях. Найти вероятности следующих событий: А - прибор признан I сорта; В - II сорта; С - Ш сорта; D - прибор признан негодным.
Решение:
Обозначим Через Аi
событие, состоящее в том, что i-ый
рабочий не допустил брак, тогда
-i-ый
рабочий допустил брак i=1,2,3,4
. В условии дано Р(А1) =01;
Р(А2)= Р(АЗ)=0,09 ; Р(А4)=0,15. Тогда P(A1)=0.9;
P(A2)=P(A3)=0.91;
Р(A4) = 0.85
Интересующие нас
события можно представить следующим
образом: A=A1А2А3А4;
B=A1A2A3A4+
А2А3А4;C=A1A2A3A4+
A2A3А4.
Событие D
противоположно сумме событий А+В+С, т.е.
D=
A+B+C:
Применяем формулы (1.2.2) для независимых событий и (1.2.3) для несовместных событий-слагаемых в выражениях для В и С, получим
Задача 1.2.3
Вероятность того, что проходящая машина потребует заправки в данном пункте, равна 0.3. Сколько должно пройти машин чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0.9 можно было утверждать, что хотя бы одна потребует заправки?
Решение; Введем обозначения для событий : Аi –i-я машина потребует заправки и С - хотя бы одна машина из и потребует заправка. Тогда С=А1+А2+...+Аn.
Однако все слагаемые совместны, поэтому перейден противоположному событию С -“ни одна машина из n потребует заправки” получим
События A1
,А2,..., An
, а следовательно , _ A1
А2…Аn
независимы и имеют
одну и ту же вероятность
Поэтому
По
условию задачи
те.
Решая
это неравенство, найдем последовательно
n
lg 0.7
lg 0,1, откуда
.
Окончательно получаем n=7.