17. В r4 дано линейное подпространство l, являющееся линейной оболочкой векторов .

1. Найти базис ортогонального дополнения ;

1. Разложить вектор на сумму ортогональной проекции на l и ортогональную составляющую.

Решение.

а) Множество всех векторов, ортогональных к линейному подпространству L (всем векторам из L), называется ортогональным дополнением.

Очевидно, что - линейно независимые и образуют базис в L.

Базис ортогонального дополнения (состоит из 2-х векторов) находим так. Эти вектора , из ищем как независимые (фундаментальные) решения системы (скалярные произведения с базисом из L равны 0):

.

Положим , тогда получаем , т.е. .

Положим , получаем , т.е. .

Итак, , - базис в ортогонального дополнения .

2. Разложим вектор на сумму ортогональной проекции на L и ортогональную составляющую по новому способу, а можно, как в задаче 15.

Отметим, что , , - базис в R⁴.

Найдем координаты в базисе , т.е. . Сравнивая координаты, получаем систему, которую решаем методом Гаусса

Эту систему можно записать так: располагаем координаты векторов в столбцы, а затем вектор :

.

.

Из этой системы находим, что . Таким образом,

- это разложение единственное.

Очевидно, что проекция разлагается по векторам , т.е.

.

Очевидно, что ортогональная составляющая разлагается по векторам , т.е.

.

Проверка. ,

.

18. Найти ортонормированный базис из собственных векторов оператора, заданного в ортонормированном базисе симметричной матрицей .

Решение. Т.к. матрица А симметрична, то все собственные значения являются действительными числами.

1) Решаем характеристическое уравнение или

или .

Следовательно, - собственное значения.

2) Находим собственные вектора, решая систему .

а) . Решаем систему

.

Здесь - базисная переменная, а - небазисные переменные.

Полагая , получаем собственный вектор .

Полагая , получаем собственный вектор .

Линейная комбинация собственных векторов отвечающих одному собственному значению также будет собственным вектором, например, собственный вектор для . Поэтому произведем ортогонализацию полученных собственных векторов и получим ортогональные собственные вектора для .

,

.

Проведем проверку (необязательно):

скалярное произаедение ортогональность ;

собственный вектор для ;

собственный вектор для .

Итак, найдены ортогональные собственные вектора и отвечающие .

б) . Решаем систему

.

Здесь - базисные переменные, а - небазисная переменная.

Полагая , получаем собственный вектор для .

3) Т.к. матрица оператора, заданного в ортонормированном базисе, является симметричной, то это означает, во-первых, что оператор является самодвойственным, а во-вторых, собственные вектора отвечающие разным собственным значениям ортогональны.

Следовательно, , , - ортогональный базис из собственных векторов оператора.

Произведем нормировку (сделаем вектора единичными):

, ,

.

Итак, - ортонормированный базис из собственных векторов оператора