Список задач к экзамену по ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

1. Линейное подпространство l в r3 порождено векторами , , . Принадлежит ли вектор этому подпространству?

Решение.

1-й способ. Вектор принадлежит линейному пространству натянутому на вектора , если ранг матрицы , составленной из координат векторов (т.е. вектора записаны в столбцы), и ранг расширенной матрицы совпадают.

rang(A) = rang(A|v) =2.

Следовательно, .

2-й способ.

1) Находим базис L (линейно независимые вектора образующие L). Для чего находим ранг матрицы А (методом эквивалентных преобразований) строками которой являются вектора .

rang(A)=2.

Следовательно, можно считать, что вектора , - образуют базис в L.

2) Если вектора , , - линейно зависимые, то это, будет означать, что выражается через , а следовательно, принадлежит этому подпространству. Подсчитаем определитель:

Т.к. определитель , то это означает, что строки линейно зависимые.

Ответ.

2. Найдите систему линейных уравнений, задающих линейное подпространство, натянутое на следующую систему векторов .

Решение. 1) Находим базис L (линейно независимые вектора образующие подпространство, натянутое на систему векторов ). Для чего находим ранг матрицы А строками которой являются вектора .

rang(A)=2.

Следовательно, можно считать, что вектора , - образуют базис в L.

2) Для того, чтобы вектор принадлежал линейной оболочке , необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А – составленной из координат векторов , и ранг расширенной матрицы (A|y)совпадали. Если теперь с помощью эквивалентных преобразований привести (A|y) к ступенчатому виду, то получим:

.

Т.к. rang(A) = 2, то для того чтобы rang(A|y) =2, необходимо и достаточно, чтобы

- искомая система линейных уравнений.

3. Отображение f из пространства R² в себя задано формулой . Докажите, что это отображение является линейным оператором и найдите матрицу (а) в стандартном базисе, (b) в базисе, состоящем из векторов .

Решение. Пусть . Тогда используя свойства скалярного умножения, получим

или , где .

Проверим свойства линейности оператора.

1) ;

2) , где - действительное число.

Свойства 1)-2) выполнены, следовательно, - линейный оператор.

а) Из представления находим матрицу в стандартном базисе:

.

b) Матрица С перехода от старого базиса (стандартного) к новому , имеет вид: (столбцами являются вектора ).

Тогда матрица линейного оператора в новом базисе , находится по формуле:

.

Производим вычисления:

.

Итак: .

4. Линейное отображение a имеет в базисе матрицу . Найдите матрицу этого отображения в базисе

Решение. Матрица С перехода от старого базиса (стандартного) к новому , имеет вид:

(столбцами являются вектора ).

Тогда матрица линейного оператора в новом базисе , находится по формуле:

.

Производим вычисления:

, , .

Итак: матрица линейного оператора в новом базисе.

5. Запишите матрицу линейного оператора, который переводит векторы соответственно в и . Какой вектор получится, если применить этот оператор .

Решение. Исходя из условия можно записать матричное уравнение:

( это тоже самое, что пара уравнений , ).

Отсюда находим: матрица линейного оператора в естественном базисе.

Применим этот оператор к : . Аналогично, .