§ 3. Основные математические понятия

Как и любая наука, математика имеет свои основные по­нятия, которыми оперирует: множество, число, счет, вели­чина, форма и др. Исходным содержанием большинства ма­тематических понятий служат реальные предметы и явления окружающей жизни и деятельности людей.

Основное понятие в математике — понятие множества. Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются как единое целое. Мир, в котором живет человек, представлен разнообразными множествами: мно­жество звезд на небе, растений, животных вокруг него, множество разных звуков, частей собственного тела. Мно­жество характеризуется различными свойствами, т.е. мно­жество задано некоторыми характеристиками. Под этими ха­рактеристиками подразумеваются такие свойства, которы­ми владеют все объекты, принадлежащие данному множеству, и не владеет ни один предмет, который не при­надлежит ему, т.е. этот предмет не является его элементом. Множество в отличие от неопределенной множественности имеет границы и может быть охарактеризовано натураль-

22

ным числом. В таком случае считают, что число обозначает мощность множества.

В начале развития счетной деятельности сравнение мно­жеств осуществляется поэлементно, один к одному. Элемен­тами множества называют объекты, составляющие множе­ства. Это могут быть реальные предметы (вещи, игрушки, рисунки), а также звуки, движения, числа и др. Сравнивая множества, человек не только выявляет равномощность мно­жеств, но и отсутствие у множества того или другого эле­мента, той или другой его части. Есть два способа определе­ния мощности множества: первый — пересчитывание всех его элементов и называние результата числом; другой — вы­деление характерологических особенностей множества.

Элементами множества могут быть не только отдельные объекты, но и их совокупности. Например, при счете пара­ми, тройками, десятками. В этих случаях элементами множе­ства выступает не один предмет, а два, три, десять — сово­купность.

Основными операциями с множествами являются: объе­динение, пересечение и вычитание.

Объединением (суммой) двух множеств называют третье множество, которое включает все элементы этих множеств. При этом сумма множеств не всегда равняется сумме чисел элементов множеств. Она равна сумме чисел элементов толь­ко тогда, когда в обоих множествах нет общих элементов. Если таковые есть, то в сумму они включаются только один раз. Например, в загадке «Два отца и два сына. Сколько их всего⁷» видим пример объединения множеств, когда сумма элементов не равна сумме чисел. Поскольку один и тот же человек включается дважды (и в первое, и во второе множе­ство), он считается один раз. Или другой пример: чтобы определить количество дисциплин, которые изучаются уча­щимися педколледжа в семестре, необходимо из расписания каждого дня сделать выборку: ко множеству предметов, ко­торые изучают учащиеся в понедельник, добавить не все уроки последующих дней недели, а лишь те, которые не назывались в понедельник. Таким образом, количество пред­метов будет меньше, чем общее количество уроков в неде­лю, так как есть предметы, повторяющиеся в разные дни.

Действия с множествами лучше всего изобразить графи­чески. Так, на рисунке 1 изображено объединение множеств.

Пересечением двух множеств называется множество, ко­торое состоит из их общих элементов. На рисунке 2 заштри­хованная часть является пересечением множеств. Так, на-

23

Рис. 1

Рис.2

Рис.3

пример, если одно множество характеризуется по признаку формы (различные треугольники), а второе множество — по цвету (красные геометрические фигуры), то объединением этих множеств будут красные треугольники.

При вычитании тух множеств получаем третье множество, называемое разностью. Разность включает элементы первого множества, не принадлежащие второму. На рисунке 3 зашт­рихованная часть является разницей двух множеств.

Характеризуя множества, в математике используются та­кие понятия: конечное и бесконечное множества, равномощ-ное и неравномощное, одно- двухэлементное, пустое множе­ство, часть множества, или подмножество. Дети раннего и дошкольного возраста знакомятся только с конечными, т.е. имеющими границы, множествами.

Счет — первая и основная математическая деятельность, основанная на поэлементном сравнении конечных множеств. Характеризуя это понятие, прежде всего следует подчерк­нуть, что это есть установление взаимооднозначного соот­ветствия между двумя множествами. В истории развития че­ловечества долгое время использовался дочисловой счет. Человек сравнивал множества, констатировал их равночис-ленность (равенство) или не равночисленность {столько же, меньше, больше...).

С появлением натуральных чисел человек в качестве од­ного из множеств стал использовать числовой ряд.

Число — показатель мощности прерывной (множества) или непрерывной величины. Число всегда есть отношение этой величины к избранной мере, поэтому число не являет­ся постоянной характеристикой, оно относительно к той еди­нице, которая принимается за меру (считать можно парами, десятками; измерять можно разными мерами — результат будет разный).

Понятие величина в математике рассматривается как ос­новное. Возникло оно в глубокой древности и на протяже­нии истории развития общества подвергалось ряду обобще­ний и конкретизации. Величина — это и протяженность, и объем, и скорость, и масса, и число, и т.д. В данном же

24

случае мы сужаем понятие величина и будем характеризовать им только размер предметов.

Величина предмета — это его относительная характерис­тика, подчеркивающая протяженность отдельных частей и определяющая его место среди однородных. Величина явля­ется свойством предмета, воспринимаемым различными ана­лизаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаще всего величина предмета воспринимается одно­временно несколькими анализаторами: зрительно-двигатель­ным, тактильно-двигательным и т.д.

Величина предмета, т.е. размер предмета, определяется только на основе сравнения. Нельзя сказать, большой это или маленький предмет, его только можно сравнить с дру­гим. Восприятие величины зависит от расстояния, с которо­го предмет воспринимается, а также от величины предмета, с которым он сравнивается (рис. 4). Чем дальше предмет от "того, кто его воспринимает, тем он кажется меньшим, и наоборот, чем ближе — тем кажется большим.

Рис. 4

Характеристика величины предмета зависит также от рас­положения его в пространстве. Один и тот же предмет может характеризоваться то как высокий {низкий), то как длинный (короткий). Это зависит от того, в горизонтальном или вер­тикальном положении он находится. Так, на рисунке 5, а предметы расположены в вертикальном положении и харак­теризуются как высокий и низкий, а на рисунке 5, б эти же самые предметы характеризуются как длинный и короткий.

Величина предмета всегда относительна, она зависит от того, с каким предметом он сравнивается. Сравнивая пред­мет с меньшим, мы характеризуем его как больший, а срав­нивая этот же самый предмет с большим, называем его мень­шим. Данное положение представлено на рисунке 6.

Итак, величина конкретного предмета характеризуется такими особенностями: сравнимость, изменчивость и отно­сительность.

Величина предмета определяется человеком только в срав­нении с другой величиной — мерой. Мера является этало-

25

Рис.5

Рис 6

ном величины. В качестве эталонов величины выступают наши представления об отношениях между предметами и обозна­чаются словами, указывающими на место предмета среди других {большой, маленький, высокий, длинный, короткий, толстый, тонкий и т.д.).

Начальному выделению величины, возникновению эле­ментарных представлений о ней способствуют предметные ^г действия, включающие различные виды непосредственного сопоставления объектов между собой по их величине (на­кладывание, прикладывание, приставление), а также опос­редованное сравнение с помощью измерения.

Измерение — один из видов математической деятельно­сти. С помощью измерения определяется непрерывная ве­личина: масса, объем, протяженность. В истории развития человеческого общества счет и измерение были, конечно, самыми первыми видами математической деятельности, тесно связанными с элементарными потребностями чело­века, и прежде всего с определением площадей земельных участков, вместимости сосудов и др.

26

Основной момент в обучении измерению — ознакомле­ние детей с мерой. Введение измерения в программу воспита­ния в детском саду решает две цели: познакомить детей с мерой и научить измерять, сравнивать предметы по величи­не, а также показать детям зависимость между мерой, ее ве­личиной и результатом — количеством измерений. Это и под­водит детей к пониманию функции — основного понятия математики. Понимание функции (зависимости) между ве­личиной, мерой и результатом измерения способствует раз­витию аналитико-синтетической деятельности ребенка. Сен­сорное восприятие, на которое опирается ознакомление детей с величиной предмета, тесно переплетается с развитием у них мышления.

Классическая дидактика выделила величину и форму как самостоятельные категории действительности. Уровень позна­ния формы весьма существен, так как на него опираются при сформировании представлений о величине, пространстве и др.

Исходным содержанием понятия о форме служат реаль­ные предметы окружающей действительности. Первые пред­ставления о форме конкретных предметов дает ребенку взрос­лый, воспитатель. Однако на определенном этапе развития у ребенка возникает потребность как-то разобраться в разно­образии форм. Этот процесс осуществляется первоначально в результате уподобления одного предмета по форме друго--му. Например, дети, рассматривая какой-то предмет, гово­рят: похожий на огурчик, на морковку. Постепенно возни­кает необходимость построить некоторые доступные детям обобщения, являющиеся не чем иным, как усвоением опре­деленной классификации геометрических фигур.

Образцами — эталонами формы выступают геометричес­кие фигуры. Они являются абстрагированием от формы ре­альных предметов. С помощью геометрических фигур прово-* дится анализ окружающей действительности по форме.

Благодаря исследованиям современных отечественных и зарубежных психологов и педагогов можно утверждать, что классификация геометрических фигур, воспринимаемых на чувственном опыте, осуществляется детьми при ознакомле­нии их с формой реальных предметов, что дает возможность перестроить этот чувственный опыт, сделать его более осоз­нанным. В результате этого появляется возможность опреде­ления формы предмета на основе использования фиксиро­ванных эталонов.

Восприятие ребенком окружающих предметов на первых порах еще не означает выделение им формы. Для ребенка

27

сначала выступает сам предмет, а не особенности его формы. Ознакомление же детей с системой геометрических фигур создает у них обобщенные представления о форме. В системе геометрических фигур сконцентрирован обобщенный и аб­страгированный опыт сенсорной деятельности людей.

Упражнения для самопроверки

Основными понятиями (ключевыми словами), которыми оперирует методика... развития детей, являются: ..., число, ..., форма, ..., отношения и др.

Исходным содержанием этих понятий чаще всего являются реальные предметы, ... окружающей жизни и... самих людей.

Множество это есть ... объектов, вос­принимаемых как одно целое. Основная ... деятельность в ранние периоды развития общества была направлена на ... сравнение двух множеств, в последующем одним из них стал выступать... ряд чисел.

математического

множество, счет

величина

явления

деятельность

совокупность

математическая

поэлементное натуральный