3. Основы математического анализа

Дифференцирование функций. Для решения многих задач требуется найти разность значений функции в двух точках. Так, средняя скорость материальной точки за промежуток времени Δt равна . Если рассматриваемое движение не является равномерным, то чем меньше выбран промежуток времени Δt, тем лучше указанная формула будет характеризовать движение точки. В идеале мы получаем понятие мгновенной скорости : это предел, к которому стремится средняя скорость, когда t → 0, то есть

Эта и другие задачи приводят к понятию производной.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки  и существует конечный предел отношения при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке :

.

Производная функции y = f (x) может также обозначаться одним из следующих способов: 

Г

Рис. 1.17

еометрический смысл производной. Если y = f (x) изображена своим графиком – кривой в декартовых координатах (рис. 1.17), то . где – угол между осью и касательной к кривой в данной точке , отчитываемый от положительного направления оси против часовой стрелки. В механике производную по времени t часто обозначают точкой: .

Если приращение функции f (x₀ + Δx) – f (x₀) обозначить как Δy, то определение можно записать так:

.

Линейную функцию называют дифференциалом функции  f в точке и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке равна 1, то есть .

 Поэтому пишут:

.

Геометрически дифференциал функции – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx (рис. 1.17).

Операция вычисления производной называется дифференцированием. Функция называется дифференцируемой в данной точке, если в этой точке существует ее производная.

Таблица производных

1		7		13
2		8		14
3		9		15
4		10		16
5		11		17
6		12		18

И

Рис. 1.18

нтегрирование функций. Первообразной функцией (или просто первообразной) для данной функции одной переменной , определенной в некоторой области , называется такая функция , определенная в той же области, производная от которой равна .

Геометрический смысл первообразной. Если данная функция изображена кривой в декартовых координатах, то первообразная численно равна площади , ограниченной кривой , осью и двумя ординатами: постоянной АВ (при ) и переменной (при абсциссе ). Произвольно выбирая постоянную а, получаем различные первообразные. При этом площадь понимается в алгебраическом смысле (рис.1.18):

площадь фигуры АВСD = .

Процесс нахождения первообразной называется интегрированием.

Интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.