Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Копия лекция- тела вращения.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
22.08.2019
Размер:
7.32 Mб
Скачать

Плоскость, касательная к сфере

Определение

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку)

Теорема1

Касательная плоскость перпендикулярна радиусу в конце его, лежащем на сфере.

Доказательство

Расcмотрим касательную плоскость α к сфере c c центром O радиуса r в точке M.

Покажем, что ОM α. Предположим, что плоскость не перпендикулярна радиусу сферы ( рис.172). Тогда проведем ОK α. Поскольку точка M – единственная общая точка сферы и плоскости, то точка K лежит вне сферы, а значит, расстояние OK больше радиуса сферы, т.е. OK > r или OK > OM. Но по предположению, OK – перпендикуляр, а OM – наклонная, проведенные из одной точки. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно, остается ОM α.

Доказательство закончено.

Теорема 2

Если плоскость перпендикулярна радиусу в конце его, лежащем на сфере,

то эта плоскость - касательная плоскость к сфере.

Доказательство

Расcмотрим к плоскость α и сферу c c центром O радиуса r .

Пусть ОM α. Покажем, что точка M – единственая общая точка сферы и плоскости. Предположим, что плоскость и сфера имеют еще одну общую точку K. Тогда проведем ОK = r. Поскольку из одной точки можно провести только один перпендикуляр к плоскости, то ОK - наклонная. Получили противоречие: перпендикуляр и наклонные проведенные из одной точки, равны. Следовательно, наше предположение неверно, остается M – единственная общая точка сферы и плоскости.

Доказательство закончено.

Тела вращения

Понятие тел вращения =1

  1. Пусть дана прямая l, точка M, не принадлежащая прямой l . Через точку M проведем плоскость, перпендикулярную прямой l. В этой плоскости рассмотрим окружность с центром в точке O - пересечения прямой и плоскости и радиусом OM.

Говорят, что эта окружность получена при вращении точки M вокруг оси l,

т.е. окружность – фигура вращения точки вокруг оси ( рис.146 ).

  1. Если в плоскости прямой l рассматривается некоторая фигура F, то фигура вращения рассматривается как фигура, полученная при вращении множества точек фигуры F ( рис.147 ).

Рис. 147

  1. При вращении отрезка, перпендикулярного оси вращения может получиться

а) круг ( рис. 148); б) кольцо( рис.149);

Рис. 148 Рис. 149

  1. При вращении отрезка, параллельного оси вращения получится цилиндрическая поверхность( рис.150);

Рис. 150

  1. При вращении отрезка не параллельного и не перпендикулярного оси вращения получится

а) коническая поверхность ( рис.151) ; б) поверхность усеченного конуса

( рис.152);

Рис. 151 Рис. 152

Контрольные вопросы

1. При вращении отрезка, перпендикулярного оси вращения и пересекающего ось получится:

а) круг; б) окружность.

б)

2. При вращении отрезка, лежащего на прямой, перпендикулярной и оси вращения и не пересекающего ось, получится:

а) кольцо ; б) окружность; в) круг.

а)

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.