- •Оглавление
- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •[§10.] Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
- •§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 26.] Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§ 29*. Операторы и и их свойства
- •§ 30. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
- •§ 32. Принцип тождественности
- •§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •A.2. Критерий применимости теории возмущений
- •A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
§6. Роль классической механики в квантовой механике
Два момента присутствия классической механики в квантовой механике:
Измерение микросистем (квантово-механических систем) проводятся с помощью классических приборов (систем).
Принцип соответствия – переход квантово-механических результатов в классическую механику ( 0, можно ввести такую величину размерности действия A, что ). По Эйнштейну этот переход характеризуется . Если , то переход в классическую механику Ньютона.
[§7.] Волновая функция и ее свойства
Волновая функция динамических переменных и времени определяет состояние системы с точностью до фазового множителя, т. е.
т. е. и описывает одно и тоже состояние, где - фазовый множитель. Волновая функция – комплексная, непрерывная, конечная. У нее почти всюду существует конечная производная по координате, но в некоторых точках может терпеть скачек (особые точки). Функции - нормируемые, т.е. квадратично интегрируемы. Но для свободной материальной точки не нормируема.
- элементарный объем
- вероятность того, что динамические переменные лежат в интервале . Это определение справедливо для квадратично интегрируемых функций. Для не квадратично интегрируемых функций величина пропорциональна плотности вероятности.
[§8.] Принцип суперпозиции состояний
Если мы имеем состояния системы, описываемые функциями , то суперпозиции этих функций также отвечает некоторое состояние этой системы:
Отсюда получаем: уравнения, которым подчиняется функция должны быть линейными. Этот же вывод распространяется и на операторы в квантовой механике. Принцип суперпозиции требует использования в квантовой механике линейных операторов.
§9. Понятие о теории представлений
Представление – это совокупность переменных, в которых решается задача (т. е. набор динамических переменных). Рассмотрим одну материальную точку. Число степеней свободы n=3. Здесь могут быть 2 случая:
Под понимаем - имеем -представление (координатное)
Оператор координаты
Оператор импульса
Здесь
Под понимаем - имеем -представление (импульсное)
Оператор координаты
Оператор импульса
Здесь
Мы в основном будем использовать -представление. Результаты измерения от вида представления не зависят!
[§10.] Операторы в квантовой механике
В силу принципа суперпозиции в квантовой механике используются линейные операторы. Задача на собственные функции и собственные значения:
Определение оператора:
Свойство линейности:
Если , то
т.к. , то
Сопряженный оператор – это оператор, который связан с данным оператором соотношением:
или
Тогда получаем:
Если - то оператор называется эрмитовым (самосопряженным).
Транспонированный оператор
Отметим следующие свойства:
1)
(10.1)
Из выражения (10.1) получаем:
2)
3)
Сумма операторов: . Это операторное равенство предполагает
Произведение операторов: , тогда . Это операторное равенство предполагает
В общем случае не коммутативны
Коммутатор
Если , то операторы и называются коммутативными (операторы и коммутируют).
Если , то операторы и называются не коммутативными (операторы и не коммутируют).
Так как физические величины вещественны, то число операторов в квантовой механике ограничено. Собственные значения эрмитовых операторов вещественны, значит только их можно ставить в соответствие физическим величинам.
Запишем определение среднего:
Так как результаты измерений вещественны, то тоже должно быть вещественным, т.е.
(10.2)
тогда
,
т.е.
Обозначим , тогда
Тогда из (10.2) получаем
(10.3)
Из (10.3) имеем для любых :
,
,
где (сопряженный и транспонированный).