- •Оглавление
- •§1. Экспериментальные основы квантовой механики
- •§2. Классическое и квантовое описание системы
- •[§3.] Принцип неопределенности
- •[§4.] Полный набор динамических переменных
- •[§5.] Постулаты квантовой механики
- •§6. Роль классической механики в квантовой механике
- •[§7.] Волновая функция и ее свойства
- •[§8.] Принцип суперпозиции состояний
- •§9. Понятие о теории представлений
- •[§10.] Операторы в квантовой механике
- •Транспонированный оператор
- •[§11.] Собственные функции и собственные значения эрмитовых операторов. Случай дискретного (и непрерывного)* спектра
- •§12. Среднее значение измеряемой величины
- •§13. Вероятность результатов измерения
- •§14. Коммутативность операторов и одновременная измеримость физических величин (1/2*)
- •[§15.] Операторы координаты , импульса , момента импульса , энергии .
- •§16. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора
- •§17. Решение задачи на собственные функции и собственные значения для оператора .
- •§ 18. Вычисление коммутаторов, содержащих операторы (и *).
- •[§ 19.] Волновое уравнение
- •§ 20 Производная оператора по времени
- •§ 21 Интегралы движения в квантовой механике
- •§22. Флуктуации физических величин (1/2*)
- •§ 23. Неравенства Гайзенберга. (1/2*)
- •[§ 24.] Оператор Гамильтона различных систем
- •§ 25. Стационарное состояние различных систем
- •[§ 26.] Решение волнового уравнения в случае свободной материальной точки
- •§ 27. Решение волнового уравнения в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы
- •[§ 28.] Собственный механический момент (спин)
- •§ 29*. Операторы и и их свойства
- •§ 30. Спиновая переменная волновой функции
- •§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
- •§ 32. Принцип тождественности
- •§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
- •A.1. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: второе приближение
- •A.2. Критерий применимости теории возмущений
- •A.3. Стационарная теория возмущений в случае близких энергетических уровней.
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".
- •Экзаменационные вопросы по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
- •Решения задач по курсу "Квантовая теория"
Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
Задача 1. Найти оператор , если
а) , ; , ;
б) , ; , .
Задача 2. Найти , если - произведение эрмитовых операторов и
В сферических координатах - представления найти собственную функцию оператора .
Задача 3. В - представлении (одномерная система) решить уравнение для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .
Задача 4. Рассчитать коммутатор .
Решения задач по курсу "Квантовая теория"
[Задача 1.]Найти оператор , если
а) , ; , ;
б) , ; , .
Решение. Подставляя явный вид в правую часть и проводя интегрирование по частям, получим
а) ,
б) ,
.
Здесь использовано обращение функций и в нуль на бесконечности в случае (а) и условие периодичности функции и в случае (б). В обоих случаях оператор не совпадает с оператором .
Задача 2. Показать, что произвольный линейный оператор может быть представлен в виде
; , .
Решение. Легко видеть, что справедливо разложение на сумму
двух операторов, первый из которых является эрмитовым:
, ,
а второй – антиэрмитовым:
.
С их помощью будем иметь
; , ;
, .
Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть Эрмитов оператор. Произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово.
[Задача 3.] Найти , если - произведение эрмитовых операторов и
Решение. Из определения имеем
;
, /
Отсюда с учетом эрмитовости и найдем
.
Легко видеть, что в общем случае .
Задача 4. Решить уравнение (7.3) для оператора
,
Решение. Из решения задачи 3(б) и равенств
найдем
,
т.е. рассматриваемый оператор Эрмитов, а его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид
.
Решая его, найдем
.
Из условия периодичности (см. задачу 3(б))
вытекает равенство
,
из которого получаем ограничение
;
Из дискретности и невырожденности спектра следует, что после нормировки (8.4) функции будут обладать свойством (8.3).
Запишем условие нормировки (8.4) в виде
В общем случае постоянный множитель есть комплексное число, однако ввиду всегда допустимого введения произвольного фазового множителя
,
будем предполагать вещественность константы . Это дает
Окончательно запишем
;
Задача 9. Для стационарного состояния вида
описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:
а)
б)
Решение. а) По определению ,
запишем
Расчет числителя (12.3) дает
где использованы соотношения
Аналогичным образом для знаменателя (12.3) получим
Следовательно, для будем иметь
б) Учитывая свойство (7.2) и определение (12.2), запишем
.
Расчет числителя (12.4) дает
таким образом, для будем иметь
[Задача 6.] В - представлении (одномерная система) решить уравнение (7.3) для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .
Решение. В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем
Интересующее нас решение ищем на отрезке
Поскольку в точках и потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность, вероятность преодоления бесконечного барьера и попадания за пределы области (17.2) равна нулю. Оказавшись в области (17.2), частица все время будет находиться в ней. Из формул
и
следуют соотношения
где - волновая функция , удовлетворяющая стационарному уравнению Шредингера
совпадающему с уравнением (13.1) или (13.2) (в зависимости от характера спектра), т.е. функция , удовлетворяющая (17.5), есть собственная функция оператора , соответствующая собственному значению . Из сказанного вытекают граничные условия , накладываемые на решение уравнения (17.5).
Таким образом, приходим к задаче
Отсюда следует:
Положительность собственного значения оператора вытекает из положительности и . Решение уравнения (17.7) представимо в виде суперпозиции двух элементарных состояний, которые на языке (17.3) интерпретируются как волны де Броля, распространяющиеся в противоположных направлениях оси :
Подстановка (17.8) в граничные условия (17.6) приводит к системе однородных уравнений
для неизвестных коэффициентов . Критерий существования тривиального решения этой системы
дает условие квантования
собственного значения (17.5). Это означает, что обладает дискретным спектром, а уравнение (17.5) эквивалентно (7.3). Вводя согласно (17.9) обозначения
где - пока неизвестная вещественная (в силу наличия у произвольного фазового множителя (10.1) это всегда возможно) константа, для функции (17.8) будем иметь
Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид
Отсюда с учетом решения задачи 12 находим
Подставляя найденное значение константы в (17.10), запишем решение задачи в окончательной форме
[Задача 7.] Рассчитать коммутатор .
Решение. Для нахождения явного вида оператора необходимо рассмотреть результат его действия на произвольную функцию . Используя (13.6), (14.2) и определение , запишем
.
Задача 8. Найти коммутатор .
Решение. Используя (19.2) и вид в - представлении
,
запишем
.