§33. Стационарная теория возмущений в случае невырожденного дискретного энергетического спектра: нулевое и первое приближения
Рассмотрим оператор
,
который обладает дискретным спектром:
Под
номером
понимается набор всех квантовых чисел,
определяющих состояние системы.
– значения образующие энергетический
спектр.
Так как спектр невырожденный, то между состоянием и уровнем (энергией) существует взаимооднозначное соответствие, т.е.:
Т.к. спектр дискретный, то функции квадратичноинтегрируемы:
Пусть
ЗШЛ решена и найдем собственные функции
и собственные значения
.
Рассмотрим ЗШЛ:
.
Оператор
здесь имеет такую структуру, что эта
ЗШЛ просто не решается, как ЗШЛ для
операторы
.
Оператор должен :
1.
Иметь структуру
,
где
– оператор для которого задача решена.,
–
дает малую добавку в оператор.
2. Спектр собственных функций дискретен, тогда собственные функции квадратичноинтегрируемые
Решим задачу разложения по малому параметру ( через теорию возмущений).
Из этого получаем
т.к. параметр малый, то энергетический спектр можно разложить по малому параметру:
p – указывает порядок разложения и показывает малость члена суммы.
отвечает
невозмущенной задаче
–
поправка имеющая первый порядок малости.
Т.к. собственные функции оператора образуют базис, то по ним можно разложить собственные функции возмущенного оператора
Коэффициенты разложения:
Их можно разложить по малому параметру:
Теперь задача теории возмущений состоит в нахождении членов рядов:
Чем больше членов рядов найдем, тем точнее решим задачу.
Подставим в и вынесем коэффициенты за знак операторов
Используем решение для невозмущенного операторы
Обозначим
этот ряд
,
где
,
тогда
Используем соотношение
Коэффициенты выносятся за знак скалярного произведения:
Рассчитаем
– это
матричный элемент оператора возмущений,
который рассчитывается по невозмущенным
функциям.
Тогда имеем
Получили матричное уравнение, которое должны разложить по малым параметрам и прировнять к 0 все слагаемые соответствующие своим порядкам малости.
считается величиной первого порядка малости, по нему проводится разложение.
Используем, что
Здесь
Тогда
Получили исходное уравнение. К чему еще добавляются две нормировки:
Подставим в уравнение выражения
Группируем члены по порядку малости. По каждому порядку должны получать справа ноль.
Сначала нулевой порядок
Так как имеет первый порядок малости то член связанный с ним будет отсутствовать.
Из этого
выражения получаем что, так как спектр
невырожденный, при
Дает
и
получаем
,
а при
может быть
Легко видеть, что так как
,
то нулевое приближение дает
.
Тогда в нулевом приближении имеем решение:
Теперь для уровней:
.
Окончательно в результате нулевого приближения
Перейдем к первому приближению.
Получим дополнительные соотношения из условия нормировки возмущенных
функций.
Так как
получим
.
Подставим сюда разложение по малому параметру
,
тогда имеем
Здесь справа стоит величина нулевого порядка малости.
для
,
.
для
Рассмотрим
первое приближение:
.
Два случая
и
,
и
.
Из имеем
Используем, что
Тогда из и :
.
Из
рассмотрим случай
:
- поправка к i-ому
энергетическому уровню первого порядка
малости.
Тогда в первом приближении
и также получаем
.
Тогда получили, что
,
т.е.
коэффициенты
чисто мнимые.
Ввиду неопределенности фазового множителя при волновой функции, то полагают
,
тогда
принимают
.
Из рассмотрим случай .
.
Подставим это выражение в и проверим условие нормировки:
.
Распишем
Получили истинность условия нормировки.
Тогда в первом приближении теории возмущений получили:
.
Нам необходимо найти волновые функции, для них
