§ 29*. Операторы и и их свойства
Все проводится по аналогии с
и
.
обладает коммутационными свойствами:
Так как
и
не коммутируют, то они одновременно не
измеримы.
Но
.
Собственные значения оператора:
, 
.
Тогда здесь всего 2s+1 значение оператора.
Перейдем к классическому пределу:
Ввиду связи
имеем
,
.
Ясно, что так как
- параметр частицы, то он не меняется ни
при каких условиях, тогда в классическом
пределе:
, 
.
В классической механике этим величинам аналога нет и они обращаются в нуль.
В случае спина мы не можем наложить
условие
,
т. к. спин – внутреннее свойство частицы.
Тогда
не всегда целое число.
Если
- четное, то
-полуцелое.
Если - нечетное, то -целое.
Отсюда деление на 2 типа частиц:
Фермионы – спин полуцелый
Бозоны – спин целый.
§ 30. Спиновая переменная волновой функции
Рассмотрим одну частицу – система с 3 степенями свободы. Задача решается в - представлении.
,
но есть еще внутренний параметр – спин, тогда
.
Здесь
- переменная
(пространственная координата) и
(спиновая переменная, а именно проекция
спина на ось
).
Здесь мы рассматриваем стационарную задачу, поэтому от t не зависит.
Скалярное произведение теперь запишем в виде
Вероятность обнаружения частицы
в объеме
вблизи точки
:
Если хотим найти реализацию конкретного значения :
Рассмотрим действие операторов в пространстве четырех переменных
Было известно
(43.1)
Обобщим (43.1) на случай четырех переменных:
(43.2)
Рассмотрим случай когда
действует только на спиновую переменную.
В этом случае ядро будет следующим
и интеграл (43.2) переходит в интеграл:
Тогда
Переменная здесь не играет большой роли. В дальнейшем будем ее опускать, тогда
Функция
имеет 2s+1 переменную.
Ядро
в дискретных переменных вырождается в
матрицу, т. е. это есть матрица размером
.
§ 31. Матрицы Паули (и их свойства)*.
Рассмотрим электрон со спином
.
Тогда матрицы, которые будут представлять
спиновые моменты имеют размерность
.
Рассмотрим
представление (или
- представление). Рассмотрим в этом
представлении матрицу
Это оператор в матричном представлении.
Мы помним, что в матричном представлении
ядро оператора
имело вид
.
Тогда для нашего представления имеем:
Аналогично матрицы
,
,
.
и
не диагональные матрицы, тогда эти
величины с
одновременно не измеримы. По главной
диагонали стоят собственные значения.
Вводятся матрицы
.
Это матрицы Паули.
Тогда
,
,
.
Легко показать, что
.
Или на языке операторов
А коммутаторы:
,
.
Тогда так как
,
то получим
При
:
Тогда
При
получаем
.
§ 32. Принцип тождественности
Этот принцип в квантовой механике определенным образом связан с принципом Гайзенберга.
Если рассмотрим ансамбль одинаковых частиц, то идентификация этих частиц невозможна.
Одинаковые частицы обладают всеми одинаковыми внутренними свойствами (m, e, s, …). Так как в квантовой механике не существует понятия «траектория», то невозможно различить одинаковые частицы.
Например, в электронном газе существуют не отдельные частицы, а их ансамбль. В такой системе имеет место тождественность частиц.
Итак: в ансамбле одинаковых частиц реализуются состояния, инвариантные относительно их перестановок.
Т. к. такие частицы идентифицировать невозможно, то не различимы и состояния, полученные перестановкой частиц.